非線性系統
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在物理科學中,如果描述某個系統的方程式其輸入(自變數)與輸出(應變數)不成正比,則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的,因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於,非線性系統可能會導致混沌、不可預測,或是不直觀的結果。
一般來說,非線性系統的行為可以用一組非線性聯立方程式來描述。非線性方程式裡含有由未知數構成的非線性函數;換句話說,一個非線性方程式並不能寫成其未知數的線性組合。非線性微分方程式,則是指方程式裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程式是線性或非線性時,只需考慮未知數(或未知函數)的部分,不需要檢查方程式中是否有已知的非線性項。例如在微分方程式中,若所有的未知函數、未知導函數皆為一次,即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數,仍稱它是線性微分方程式。
由於非線性方程式非常難解,因此常常需要以線性方程式來近似一個非線性系統(線性近似)。這種近似對某範圍內的輸入值(自變數)是很準確的,但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象,例如孤波、混沌[1]和奇異點。這些奇特的現象,也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測,或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似,但兩者絕對不能混為一談;也就是說,一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。
舉例來說,許多天氣系統就是混沌的,微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言,這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。
某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究,但也有人不以為然:
「在科學領域裡使用『非線性科學』這個詞,就如同把動物學裡大部分的研究對象稱作『非大象動物』一樣可笑。」