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實數
沿連續線的數量 / 維基百科,自由的 encyclopedia
在數學中,實數(英語:real number)是有理數和無理數的總稱,前者如、
、
;後者如
、
等。實數可以直觀地看作小數(有限或無限的),它們能把數軸「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。實數和虛數共同構成複數。
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2018年8月13日) |
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根據日常經驗,有理數集在數軸上似乎是「稠密」的,於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為公分的正方形為例,其對角線有多長?在規定的精度下(比如誤差小於
公分),總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果(比如
公分)。但是,古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現,只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度,這徹底地打擊了他們的數學理念;他們原以為:
- 任何兩條線段(的長度)的比,可以用自然數的比來表示。
正因如此,畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念,這裡的數是指自然數(),而由自然數的比就得到所有正有理數,而有理數集存在「縫隙」這一事實,對當時很多數學家來說可謂極大的打擊;見第一次數學危機。
從古希臘一直到17世紀,數學家們才慢慢接受無理數的存在,並把它和有理數平等地看作數;後來有虛數概念的引入,為加以區別而稱作「實數」,意即「實在的數」。在當時,儘管虛數已經出現並廣為使用,實數的嚴格定義卻仍然是個難題,以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後,才由十九世紀末的戴德金、康托爾等人對實數進行了嚴格處理。
所有實數的集合則可稱為實數系(real number system)或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序體均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的,常用表示。由於
是定義了算數運算的運算系統,故有實數系這個名稱。[1]