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超現實數 」標題相近或相同的條目頁,請見「
超實數 」。
在數學 上,超現實數系統 (英語:Surreal Numbers )是一種連續統 ,其中含有實數 以及無窮 量,即無窮大 (小 )量,其絕對值 大(小)於任何正實數 。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係 「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域 [ 註 1] 。在嚴格的集合論 意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域 、實數域 、有理函數域 、列維-奇維塔域 、上超實數域 和超實數域 等,全都是超現實數域的子域 。超現實數域也包含可達到的、在集合論 裡構造過的所有超限 序數 。
超現實數樹的可視化。
超現實數是由約翰·何頓·康威 (John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納 (Donald Knuth)在他的書《研究之美》[ 註 2] [ 1] [ 2] 中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
為了定義更多的實數,我們可以將使用無限的左右集合:
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
,
π
=
{
3
,
25
8
,
201
64
,
…
|
4
,
7
2
,
13
4
,
51
16
,
…
}
{\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}
,事實上可以同樣地使用二進制展開的方法定義出所有實數。
根據歸納法,我們可以構造出
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
}
{\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}
,
ω
−
1
=
{
0
,
1
,
2
,
3
…
|
ω
}
{\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}
等無窮大的數,
1
ω
=
{
0
|
1
,
1
2
,
1
4
,
1
8
…
}
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}
等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。
我們定義
P
0
=
0
{\displaystyle P_{0}={0}}
。
若
x
=
{
L
|
R
}
,
L
,
R
⊂
P
i
{\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}
且
x
∉
P
i
{\displaystyle x\not \in P_{i}}
,那麼
x
∈
P
i
+
1
{\displaystyle x\in P_{i+1}}
,這在直觀上等價於「
x
{\displaystyle x}
是在第
i
{\displaystyle i}
天中出生的」。
那麼我們可以觀察發現:
1
,
−
1
∈
P
1
{\displaystyle 1,-1\in P_{1}}
2
,
−
2
,
1
2
,
−
1
2
∈
P
2
{\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}
π
,
ω
,
1
3
∈
P
ω
{\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}
ω
−
1
,
ω
+
1
∈
P
ω
+
1
{\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}
ω
+
π
∈
P
2
ω
{\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}
,其中
2
ω
=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
ω
+
1
,
ω
+
2
,
…
|
}
{\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}
∀
i
∈
O
r
d
:
i
∈
P
i
{\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}
我們將超現實數集合稱作
N
o
{\displaystyle \mathbb {No} }
。
給定
x
=
{
X
L
|
X
R
}
,
y
=
{
Y
L
|
Y
R
}
{\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}
,我們(遞歸地)定義
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
若且唯若以下兩命題同時成立:
沒有一個
x
L
∈
X
L
{\displaystyle x_{L}\in X_{L}}
符合
y
≤
x
L
{\displaystyle y\leq x_{L}}
,
沒有一個
y
R
∈
Y
R
{\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}
符合
y
R
≤
x
{\displaystyle y_{R}\leq x}
。
那麼可以自然地定義
x
<
y
,
x
>
y
,
x
=
y
,
x
≥
y
{\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}
。可以證明,這樣的二元關係是一個全序關係 。
我們分別將
x
<
0
,
x
>
0
,
x
≤
0
,
x
≥
0
{\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}
稱為
x
{\displaystyle x}
負、
x
{\displaystyle x}
正、
x
{\displaystyle x}
非正、
x
{\displaystyle x}
非負。
我們定義
x
‖
y
{\displaystyle x\|y}
表示
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
與
y
≤
x
{\displaystyle y\leq x}
同時不成立 。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在,但是這個關係會在之後的博弈 章節出現。
我們定義超現實數之間的加法 為
x
+
y
=
{
X
L
+
y
∪
x
+
Y
L
|
X
R
+
y
∪
x
+
Y
R
}
{\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}
,其中
X
+
y
=
{
x
+
y
|
x
∈
X
}
,
x
+
Y
=
{
x
+
y
|
y
∈
Y
}
{\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}
。
我們定義負號(加法逆元 )為
−
x
=
{
−
X
R
|
−
X
L
}
{\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}
,其中
−
X
=
{
−
x
|
x
∈
X
}
{\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}
。
可以驗證這兩個運算構成了(真類 上的)阿貝爾群 。
我們定義乘法 運算為
x
y
=
{
(
X
L
y
+
x
Y
L
−
X
L
Y
L
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
R
−
X
R
Y
R
)
|
(
X
L
y
+
x
Y
R
−
X
L
Y
R
)
∪
(
X
R
y
+
x
Y
L
−
X
R
Y
L
)
}
{\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}
,其中
X
Y
=
{
x
y
|
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
,
x
Y
=
{
x
}
Y
,
X
y
=
X
{
y
}
{\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}
。
我們定義(正數的)乘法逆元 為
1
y
=
{
0
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
L
y
R
,
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
R
y
L
|
1
+
(
y
L
−
y
)
(
1
y
)
L
y
L
,
1
+
(
y
R
−
y
)
(
1
y
)
R
y
R
}
{\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}
,這樣除法就是
x
y
=
x
(
1
y
)
{\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}
。我們可以發現這個定義是遞歸 的,但是實際上這個數字是良定義的:我們取
y
=
3
=
{
2
|
}
{\textstyle y=3=\{2|\}}
那麼
1
3
{\textstyle {\frac {1}{3}}}
會有一個
0
{\textstyle 0}
作為左項,導致了
1
+
(
2
−
3
)
0
2
=
1
/
2
{\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}
會是一個右項。這又意味著
1
+
(
2
−
3
)
(
1
2
)
2
=
1
4
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}
作為左項、
1
+
(
2
−
3
)
(
1
4
)
2
=
3
8
{\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}
作為右項,以此類推,所以我們有
1
3
=
{
0
,
1
4
,
5
16
,
…
|
1
2
,
3
8
,
…
}
{\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}
(考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
,因此是相容的)。
對於負數,我們定義
1
x
=
−
1
−
x
(
x
<
0
)
{\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}
。
所有二進分數都可以定義為超現實數,而所有分數都可以表示為兩個整數之比,因此所有有理數都可以表示為超現實數。
我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合[ 4] 。所有序數的全體記為
O
r
d
{\displaystyle \mathbb {Ord} }
,那麼我們有:
f
:
O
r
d
→
N
o
,
f
(
X
)
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
X
|
}
{\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}
這樣的同態可以保持序關係的結構,但是並不能保證算術的一一對應,比如
ω
−
1
{\displaystyle \omega -1}
這一式子的值在序數中的結果是
ω
{\displaystyle \omega }
,而在超現實數中則是
{
0
,
1
,
2
,
…
|
ω
}
{\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}
.
超現實數(Surreal)
無窮量(Infinitesimal)
格羅滕迪克 宇集
《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
現在本書的中文譯文已經在大陸出版,見存档副本 . [2012-05-10 ] . (原始內容存檔 於2012-03-16).
E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9 . E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II . Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7 .