二次函數

在數學中，二次函數（英語：quadratic function）表示形為 ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$（${\displaystyle a\neq 0\,\!}$，且${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$是常數）的多項式函數，其中，${\displaystyle x}$為自變數^[a]，${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於${\displaystyle y}$軸的拋物線。^[1]

解析式：${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}$

二次函數表達式${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$的定義是一個二次多項式，因為${\displaystyle x}$的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。該方程式的解稱為方程式的根或函數的零點。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人，它同時容許有正負數的根。^[b]

11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum，首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲。^[c]

根

更多資訊：二次方程式和韋達定理

二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}$ 的兩個根為：$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$解方程式後，我們會得到兩個根：${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{2}}$。則點${\displaystyle (x_{1},0)}$和${\displaystyle (x_{2},0)}$就是二次函數與${\displaystyle x}$軸的交點。根的類型如下：

• 設${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$為一元二次方程式的判別式，又記作D。
• 當${\displaystyle \Delta >0\,\!}$，則方程式有兩個不相等的根，也即與${\displaystyle x}$軸有兩個不重疊的交點，因為${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是正數。
• 當${\displaystyle \Delta =0\,\!}$，則方程式有兩個相等的根，也即與${\displaystyle x}$軸有一個切點，因為${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是零。
• 當${\displaystyle \Delta <0\,\!}$，則方程式沒有實數根，也即與 ${\displaystyle x}$ 軸沒有交點，因為${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$是共軛複數。

設${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$和${\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$，我們可以把${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$因式分解為${\displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$。

二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式：

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ 稱為一般形式或多項式形式。
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$ 稱為因子形式或交點式，其中${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$是二次方程式的兩個根，${\displaystyle (r_{1},0)}$,${\displaystyle (r_{2},0)}$ 是拋物線與${\displaystyle x}$軸的兩個交點。
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$ 稱為標準形式或頂點形式，${\displaystyle (h,k)}$即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

${\displaystyle h}$代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle k}$展開後比較後可得 ${\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}$

不通過${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$求${\displaystyle k}$及${\displaystyle h}$公式：

• ${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}$
• ${\displaystyle k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$ (也作${\displaystyle k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$)

而在三種形式中皆出現的${\displaystyle a}$為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}$

• 係數${\displaystyle a}$控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。${\displaystyle |a|}$越大，開口越小，函數就增長得越快。
• 係數${\displaystyle b}$和${\displaystyle a}$控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的${\displaystyle x}$坐標）。
• 係數${\displaystyle b}$控制了拋物線穿過${\displaystyle y}$軸時的傾斜度（導數）。
• 係數${\displaystyle c}$控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與${\displaystyle y}$軸的交點。

函數	圖像			函數變化	對稱軸	開口方向	最大（小）值
${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle a>0}$			當${\displaystyle x>0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$的增大而增大； 當${\displaystyle x<0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的減小而增大	${\displaystyle y}$軸 或${\displaystyle x=0}$	向上	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle a<0}$			當${\displaystyle x>0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的增大而減小； 當${\displaystyle x<0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的減小而減小	${\displaystyle y}$軸 或${\displaystyle x=0}$	向下	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle y=ax^{2}+c}$	${\displaystyle a>0}$			當${\displaystyle x>0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的增大而增大； 當${\displaystyle x<0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的減小而增大	${\displaystyle y}$軸 或${\displaystyle x=0}$	向上	${\displaystyle c}$
${\displaystyle y=ax^{2}+c}$	${\displaystyle a<0}$			當${\displaystyle x>0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$的增大而減小； 當${\displaystyle x<0}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$ 的減小而減小	${\displaystyle y}$ 軸 或 ${\displaystyle x=0}$	向下	${\displaystyle c}$
${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle a>0}$			當${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle y}$ 隨${\displaystyle x}$的增大而增大； 當${\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$的減小而增大	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	向上	${\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$
${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle a<0}$			當${\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle y}$ 隨${\displaystyle x}$的增大而減小； 當${\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle y}$隨${\displaystyle x}$的減小而減小	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	向下	${\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}$

x 截距

當函數與${\displaystyle x}$軸有兩個交點時，設這兩個交點分別為 ${\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)}$，由根與係數的關係得出^[d]：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$和${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}$

頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方，也稱為駐點。如果二次函數是標準形式，則頂點為${\displaystyle (h,k)\,\!}$。用配方法，可以把一般形式${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$化為：$${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$$^[2][3]

因此在一般形式中，拋物線的頂點是：$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$如果二次函數是因子形式${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$，則兩個根的平均數$${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}$$就是頂點的${\displaystyle x}$坐標，因此頂點位於$${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}$$${\displaystyle a<0\,\!}$時，頂點也是最大值；${\displaystyle a>0\,\!}$時，則是最小值。

經過頂點的豎直線$${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$$又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值

導數法

函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數：$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}$$然後，求出${\displaystyle f'(x)\,\!}$的根：$${\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}$$因此，${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}$是${\displaystyle f(x)\,\!}$的${\displaystyle x\,\!}$值。現在，為了求出${\displaystyle y\,\!}$，我們把${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$代入 ${\displaystyle f(x)\,\!}$：$${\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}$$所以，最大值或最小值的坐標為：$${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}$$

配方法

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}$

由於實數的二次方皆大於等於0，因此當${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$時，${\displaystyle f(x)}$有最大或最小值${\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$。

二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。如果${\displaystyle a>0\,\!}$，則方程式${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$的最小值決定。如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。如果${\displaystyle a<0\,\!}$，則方程式${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數，則描述了一個空集。

二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式：$${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}$$這個函數描述了一個二次曲面。把${\displaystyle f(x,y)\,\!}$設為零，則描述了曲面與平面${\displaystyle z=0\,\!}$的交線，它是一條圓錐曲線。

最小值/最大值

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}$，則當${\displaystyle A>0}$時函數具有最小值，當${\displaystyle A<0}$具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 ${\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}$ 取得，其中：$${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}$$$${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}$$如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}$，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。

如果${\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}$且${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}$，則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當${\displaystyle A>0}$時取得最大值，${\displaystyle A<0}$時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

註釋

1. 註：自變數${\displaystyle x}$的取值範圍為任何實數
2. 參見婆羅摩笈多#代數
3. 參見花拉子米#代數
4. 參見韋達定理

參考資料

1. 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
2. 賈士代. 初中代数41讲. 北京: 首都師範大學出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.
3. WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. （原始內容存檔於2015-07-29）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考書目

• 《代數1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• 《代數2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

參見

• 拋物線

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Quadratic. MathWorld.