二次方程式

二次方程式是一種整式方程式，主要特點是未知項的最高次數是2，其中最常見的是一元二次方程式^[1]。

一元二次方程式

更多資訊：一元二次方程式

方程式的一般形式

一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式，它的一般形式為：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$，其中 ${\displaystyle a\neq 0}$。${\displaystyle ax^{2}\,}$為方程式的二次項，${\displaystyle a\,}$為方程式的二次項係數；${\displaystyle bx\,}$為一次項，${\displaystyle b\,}$為一次項係數；${\displaystyle c\,}$為常數項。若${\displaystyle a=0\,}$，則該方程式沒有二次項，即退變為一元一次方程式。

求根公式

■${\displaystyle y={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {4}{3}}\,}$
■${\displaystyle y=-{\frac {4}{3}}x^{2}+{\frac {4}{3}}x+{\frac {1}{3}}\,}$
■${\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{2}}\,}$

一元二次方程式根的判別式為${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$。

若${\displaystyle \Delta >0\,}$，則該方程式有兩個不相等的實數根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$；

若${\displaystyle \Delta =0\,}$，則該方程式有兩個相等的實數根： ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,}$；

若${\displaystyle \Delta <0\,}$，則該方程式有一對共軛複數根： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,}$。

由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程式，當${\displaystyle \Delta \geq 0\,}$時，方程式纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當${\displaystyle \Delta <0\,}$時，方程式有兩個複數根，但是在實數範圍無解。

根與係數的關係

更多資訊：韋達定理

設${\displaystyle x_{1}\,}$，${\displaystyle x_{2}\,}$是一元二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ （${\displaystyle a\neq 0\,}$ ）的兩根，則

兩根之和：${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$

兩根之積：${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

求根公式的由來

中亞細亞的花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程式的求根公式，並把方程式的未知數叫做「根」，其後譯成拉丁文radix。

我們通常把 ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ 稱之為 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ 的求根公式：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

或不將${\displaystyle x^{2}}$係數化為1：

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}$$

對應函數的極值

設 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$（${\displaystyle a\neq 0\,}$），
對${\displaystyle x\,}$求導，得

${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b}$

令 ${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0}$，得

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}}$

即為 ${\displaystyle y\,}$的極值點，該式亦為函數圖形（即拋物線）的對稱軸方程式。 將 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ 代入 ${\displaystyle y\,}$，可得

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}$

即為 ${\displaystyle y\,}$ 的極值。

根據函數取極值的充分條件，即：
${\displaystyle f''(x)<0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的極大值點，
${\displaystyle f''(x)>0\,}$，${\displaystyle x\,}$是${\displaystyle f(x)\,}$ 的極小值點；
由${\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a}$，可知：
當${\displaystyle a<0\,}$時（拋物線開口向下），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$為${\displaystyle y\,}$的極大值點；
當${\displaystyle a>0\,}$時（拋物線開口向上），${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$為${\displaystyle y\,}$的極小值點。

參見

• 一次方程式
• 拋物綫
• 配方法
• 圓錐曲線

參考

1. 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始內容存檔於2019-07-24）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）