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有7條邊的多邊形 来自维基百科,自由的百科全书
七邊形(英語:heptagon)在幾何學中,是指有七條邊和七個頂點的多邊形[1],其內角和為900度[2]。七邊形有很多種,其中對稱性最高的是正七邊形。其他的七邊形依照其類角的性質可以分成凸七邊形和非凸七邊形,其中凸七邊形代表所有內角角度皆小於180度。非凸七邊形可以在近一步分成凹七邊形和星形七邊形,其中星形七邊形表示邊自我相交的七邊形。
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正七邊形是指所有邊等長、所有角等角的七邊形,由七條相同長度的邊和七個相同大小的角構成,是一種正多邊形,因此在施萊夫利符號中可以用 表示。正七邊形的內角是弧度,為128.571428度,其中角度的小數為循環小數,值為。
正七邊形的面積(A)可以利用其邊長(a)來計算:
將正七邊形的頂點與幾何中心相連可以將正七邊形分成七個扇三角形,這些三角形可再藉由邊心線將之一分為二。正七邊形的邊心距是正切值的一半,而這十四個小三角形的面積就會是四分之一倍的邊心距。
其確切的代數式是三次方程式,其中的一個根為[3],在複數中表示為:
正七邊形的邊數7是一個皮爾龐特質數但不是費馬質數,因此不能用沒有刻度的直尺和圓規來作圖,但可以用一把有刻度的尺來作圖。這種作圖法稱為紐西斯作圖法,正七邊形也可以用摺紙作出或者用圓錐曲線作出。單用無刻度直尺和圓規不可能作出正七邊形是因為,通過觀察發現,是不可約三次多項式一個零點。因此這個多項式是:的最小多項式。
然而尺規作圖仍可以作出近似的正七邊形[4]。
![]() 從內角完成正七邊形的二刻尺作圖。 |
![]() 外接圓半徑為的正七邊形二刻尺作圖動畫。此法根據安德魯·馬太·格里森[3]基於三等分角。 |
![]() 僅僅使用直尺和圓規,可以近似作出正七邊形,誤差大約為。設A為圓周上一點,作圓弧。那麼大約就是圓內接正七邊形的邊長。 |
![]() AMB = 51.42855809...° ; 360° ÷ 7 = 51.42857142...° |
若將一個七邊形的邊長以單位長繪製在圓半徑為的外接圓上時,其絕對誤差可以降低到0.00013%。
這種近似值來自於。這種正七邊形畫法誤差十分小,即使繪製外接圓半徑1公里大的正七邊形誤差也僅有1.1毫米。
若一正七邊形邊長為a、最短對角線為b、最長對角線為c,其滿足等式 [6]:Lemma 1
七邊形的英文名稱是heptagon,而有時也叫做septagon,"sept-"(septua-的母音音節省略,是一個從拉丁語引進的數學前綴)來表示「七、七的」,而不是hepta-(一個從希臘語引進的數學前綴,應用於大多數英語中數學、化學等學術類術語命名的前綴)。
於2006年,英國正流通兩種正七邊形硬幣,即大不列顛五十便士(50p)和大不列顛二十便士(20p)。二十歐分硬幣側表面上的凹形也使它與正七邊形極為相似。嚴格地說,這些硬幣的形狀是一個曲線的七邊形,它們被稱作定長曲線:這些外表面呈曲線的邊能夠便於硬幣在自動販賣機裡面更加流暢光滑地滾動。
在雙曲面上,正七邊形可構成正七邊形鑲嵌。下圖是正七邊形鑲嵌的龐加萊投影
扭歪七邊形,又稱不共面七邊形,是指頂點並非完全共面的七邊形。除了三維空間的扭歪七邊形之外,扭歪七邊形亦可以在一些高維度的多胞體中找到,通常會以皮特里多邊形的方式存在。例如六維正七胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪七邊形,其具有A10 [3,3,3,3,3] 的考克斯特群的對稱性[8][9]。
K7完全圖經常會被以正七邊形的圖形繪製來描述其21條連接邊。這個圖與六維正七胞體的正投影圖同為7個頂點和21條邊。
![]() 六維正七胞體 |
另外K7完全圖也顯示了七邊形的14條對角線。
部分植物會以七邊形的方式生長,例如部分的仙人掌: