在几何学中,十二胞体是指有12个胞或维面的多胞体。若一个十二胞体的12个胞全等且为正图形,且每条边等长、每个角等角则称为十二胞体,若其有不止一种胞,且该胞都是半正多胞形或正图形,则称为半正十二胞体。四维或四维以上的空间仅有两个维度存在正十二胞体,六维和十一维,其中六维空间的正十二胞体是六维超立方体为一种立方形,十一维空间的正十二胞体是十一维正十二胞体为一种单纯形。
四维十二胞体
Quick Facts 部分的十二胞体 ...
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在四维空间中没有正十二胞体,但有四种柱体柱:三角九角柱体柱、四角八角柱体柱和五角七角柱体柱和六角六角柱体柱[1],其中,六角六角柱体柱是由十二个全等的六角柱组成,但六角柱不是正图形,因此不能算是正十二胞体。
五维十二胞体
在五维空间中,十二胞体由12个四维多胞体组成,虽然没有正十二胞体,但存在许多半正多胞体,例如四种经过一次康威变换的半正多胞体[2]。
六维十二胞体
在六维空间中,十二胞体为由12个五维多胞体所组成的多胞体,而由十二个五维超正方体所组成的十二胞体称为六维超立方体。
十一维正十二胞体
Quick Facts 正十二胞体, 类型 ...
正十二胞体 |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/11-simplex_t0.svg/220px-11-simplex_t0.svg.png) |
类型 | 正十一维多胞体 |
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家族 | 单纯形 |
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维度 | 十一维 |
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对偶多胞形 | 十一维正十二胞体(自身对偶)![在维基数据编辑](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) |
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数学表示法 |
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考克斯特符号
| ![node_1](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/CDel_node_1.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) ![3](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CDel_3.png) ![node](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/CDel_node.png) |
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施莱夫利符号 | {3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} {310} |
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性质 |
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十维胞 | 12个十维正十一胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/10-simplex_t0.svg/25px-10-simplex_t0.svg.png) |
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九维胞 | 66个九维正十胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/9-simplex_t0.svg/25px-9-simplex_t0.svg.png) |
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八维胞 | 220个八维正九胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/8-simplex_t0.svg/25px-8-simplex_t0.svg.png) |
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七维胞 | 495个七维正八胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/7-simplex_t0.svg/25px-7-simplex_t0.svg.png) |
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六维胞 | 792个六维正七胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d5/6-simplex_t0.svg/25px-6-simplex_t0.svg.png) |
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五维胞 | 924个五维正六胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/5-simplex_t0.svg/25px-5-simplex_t0.svg.png) |
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四维胞 | 792个正五胞体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/4-simplex_t0.svg/25px-4-simplex_t0.svg.png) |
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胞 | 495个正四面体![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/3-simplex_t0.svg/25px-3-simplex_t0.svg.png) |
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面 | 220个正三角形![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/2-simplex_t0.svg/25px-2-simplex_t0.svg.png) |
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边 | 66 |
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顶点 | 12 |
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欧拉示性数 | 2 |
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特殊面或截面 |
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皮特里多边形 | 正十二边形 |
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组成与布局 |
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顶点图 | 十维正十一胞体
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/10-simplex_t0.svg/50px-10-simplex_t0.svg.png) |
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对称性 |
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对称群 | A11 [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] |
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在十一维空间几何学中,十一维正十二胞体(Dodecadakon或Dodeca-11-tope)又称为11-单纯形(11-simplex)是十一维空间的一种自身对偶的正多胞体,由12个十维正十一胞体组成,是一个十一维空间中的单纯形[3][4]。
性质
四维正十二胞体共有12个维面、66个维轴和220个维端,其各维度的的胞数分别为12个十维胞、66个九维胞、220个八维胞、495个七维胞、792个六维胞、924个五维胞、792个四维胞、495个三维胞、220个面、66条边和12个顶点,其二面角为cos−1(1/11)大约是84.78°[5][6][7]。
顶点座标
边长为2且几何中心位于原点的十一维正十二胞体的顶点座标会落在:
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f093f63ca761392effe0bdf533eaf31cbd6e7132)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dd8c0d084f5dda2ad2eadbfc229ed5f6c34632)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f977df1fe93c4b9e237b499317326c9f2c3e0f)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800df7898bc6ccc917e580fef259cc93727ce461)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49f9a0dfc9001bfb18c546e5e70d8dfb0fa8ed9)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82523d6a1b3f0e006a00b27a221d7caed56cb2fe)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7015f31e2b355baf8fe16de242665a2912580c7d)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ -4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43e6f35441f2bfec23285c19e1f122b5f3b5da0)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ -3{\sqrt {1/5}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca19c1be374f1d6ba8ac5cf802b01cbf4a2467df)
![{\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ -{\sqrt {20/11}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff01624059982c1464efb02783c94ffb2319393)
![{\displaystyle \left(-{\sqrt {11/6}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef113adcc86d2aafdfb462f93df67c4311781b0d)
参见
参考文献
Olshevsky, George, Duoprism at Glossary for Hyperspace.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)
Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
(Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
(Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]