正轴形

在几何学中，正轴形，或称交叉形^[1]、正交形^[2]、超正八面体、余方形，是一个正的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形，而正轴形的顶点图是前一维的另一正轴形。

n维正轴形也可以用在Rⁿ中ℓ₁-赋范下的单位球（或者，对于某些学者，单位球面）来定义；

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

在一维，正轴形就是线段 [−1, +1]，在二维它是正方形（或叫做正菱形），有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体，即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下：

二维 正方形		三维 正八面体		四维 正十六胞体

正轴形是超方形的对偶多胞形。n维正轴形的一阶骨架（英语：Skeleton (topology)）是Turán图（英语：Turán graph）T(2n,n)。

四维

四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。

更高维

正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一，考克斯特将其标记为β_n，另外两个是超方形家族，记为γ_n，以及单纯形家族，记为α_n第四个非凸多胞形的家族，超方形密铺家族，他将其标记为δ_n。

n维正轴形有2n个顶点，及2ⁿ个全都是(n−1)-单纯体的维面（n−1 维组成元素）。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角是

${\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$.

n-维正轴形的k-维组成元素（顶点、棱、面、…、维面）的个数由以下公式给出（见二项式系数）：

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$

n-维正轴形的超体积为：

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2^{n}}}{n!}}.}$

这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影，皮特里多边形投影是常用的一种投影，将其顶点，投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形，例如双角锥，我们可将其沿主轴投影，两个顶点被投影到了投影的中心。

正轴形元素

n	βn k11	名称 图像	图像 2n边形	图像 2(n-1)边形	施莱夫利 符号	考克斯特-（英语：Coxeter-Dynkin digram） 迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）	顶点	棱	面	胞	4-表面	5-表面	6-表面	7-表面	8-表面	9-表面
1	β1	线段 1-正轴体			{}		2
2	β2 −111	正方形 2-正轴体 二维正轴体			{4} {}+{}		4	4
3	β3 011	正八面体 3-正轴体 三维正轴体			{3,4} {30,1,1} {}+{}+{}		6	12	8
4	β4 111	正十六胞体 4-正轴体 四维正轴体			{3,3,4} {31,1,1} 4{}		8	24	32	16
5	β5 211	5-正轴体 五维正轴体			{33,4} {32,1,1} 5{}		10	40	80	80	32
6	β6 311	6-正轴体 六维正轴体			{34,4} {33,1,1} 6{}		12	60	160	240	192	64
7	β7 411	7-正轴体 七维正轴体			{35,4} {34,1,1} 7{}		14	84	280	560	672	448	128
8	β8 511	8-正轴体 八维正轴体			{36,4} {35,1,1} 8{}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β9 611	9-正轴体 九维正轴体			{37,4} {36,1,1} 9{}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β10 711	10-正轴体 十维正轴体			{38,4} {37,1,1} 10{}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	βn k11	n-正轴体 n维正轴体			{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{}	... ... ...	2n 0-表面, ... ${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}$ k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下，任意两点之间的距离都是相等的（L¹赋规）。库斯纳猜想（英语：Kusner's conjecture）即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。^[3]

另见

• 正图形
• 超正八面体对称群（英语：Hyperoctahedral group），正轴形的对称群。

注释

1. Elte（英语：Emanuel Lodewijk Elte）, E. L., 超空间中的半正多胞形, 格罗宁根: 格罗宁根大学, 1912 第IV章，五维半正多胞形 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Conway把它叫做n-orthoplex寓意正交的复杂图形。
3. Guy, Richard K., 开放式问题的综合，怪异的构成, 美国数学月刊, 1983, 90 (3): 196–200, JSTOR 2975549.

参考

• Coxeter, H. S. M. 正多胞形 第3版. 纽约: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Cross polytope. MathWorld.
• Polytope Viewer^{[失效链接]} （点击<polytopes...>来选择正轴形。）
• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.