数学形态学

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。

二值形态学

在二值形态学中，一个图案被看做是 ${\displaystyle n}$ 维欧几里得空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 或网格 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$的子集。

结构元素

在二值结构学中，结构元素为一个二值影像，作为分析影像时使用的“探针”，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。^[1]

以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B)：

• 待处理影像为二维类比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。
• 待处理影像为二维类比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。
• 待处理影像为二维类比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形，或写作${\displaystyle B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}}$。

基础运算子

二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。

膨胀

膨胀(Dilation)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件？”一个影像A经过结构元素B膨胀后的结果可写为：^[1]

${\displaystyle A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}}$.

其中${\displaystyle B_{x}=\{x+b|b\in B\}}$，代表结构元素平移x后的点集合，b是图像B的元素的坐标。

另外也可写为：

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}}$.

同上，其中${\displaystyle A_{-b}}$是指二值影像A经过平移-b后新的点集合。

腐蚀

腐蚀(Erosion)的定义为“位于某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件？”一个影像A经过结构元素B腐蚀后的结果可写为：^[1]

${\displaystyle A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$.

开运算、闭运算

开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合：

开运算为先腐蚀再膨胀，

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B}$.

闭运算为先膨胀再腐蚀

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B}$.

基础运算子的性质

• 所有的运算子具有平移对称性（英语：Translational_symmetry）
• 所有的运算子都是递增的，例：如果 ${\displaystyle A\subseteq C}$，则 ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$ 且 ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• 膨胀具有交换律，例：${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$
• 膨胀具有结合律，例：${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$；另外腐蚀则为 ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$
• 如果B包含原点(0,0)，则有 ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$
• 膨胀与腐蚀间的关系为：${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$，上标${\displaystyle ^{c}}$代表补集，上标${\displaystyle ^{s}}$代表对原点的点对称集合。
• 开运算与闭运算间的关系为：${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$
• 膨胀对联集有分配律，例：${\displaystyle A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)}$；腐蚀对交集有分配律，例：${\displaystyle A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)}$
• 膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算：${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$ 若且为若 ${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$
• 开运算与闭运算是幂等的：${\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}$

历史

数学形态学诞生于1964年，由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣（G. Matheron）和赛拉（J. Serra）两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立，巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。

20世纪数学形态学的发展过程可大致分为：

• 60年代的孕育和形成期
• 70年代的充实和发展期
• 80年代的成熟和对外开放期
• 90年代至今的扩展期

参考资料

1. Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)

外部链接

• 数学形态学的发展史（英文）
• 图像的膨胀与腐蚀、细化 （页面存档备份，存于互联网档案馆）