布拉格定律

在物理学中，布拉格定律给出晶格的相干及不相干散射角度。当X射线入射于原子时，跟任何电磁波一样，它们会使电子云移动。电荷的运动把波动以同样的频率再发射出去（会因其他各种效应而变得有点模糊）；这种现象叫瑞利散射（或弹性散射）。散射出来的波可以再相互散射，但这种进级散射在这里是可以忽略的。当中子波与原子核或不成对电子的相干自旋进行相互作用时，会发生一种与上述电磁波相近的过程。这些被重新发射出来的波来相互干涉，可能是相长的，也可能是相消的（重叠的波某程度上会加起来产生更强的波峰，或相互消抵），在探测器或底片上产生衍射图样。而所产生的波干涉图样就是衍射分析的基本部分。这种解析叫布拉格衍射。

布拉格衍射（又称X射线衍射的布拉格形式），最早由威廉·劳伦斯·布拉格及威廉·亨利·布拉格于1913年提出，他们早前发现了固体在反射X射线后产生的晶体线（与其他物态不同，例如液体），而这项定律正好解释了这样一种效应。他们发现，这些晶体在特定的波长及入射角时，反射出来的辐射会形成集中的波峰（叫布拉格尖峰）。布拉格衍射这个概念同样适用于中子衍射及电子衍射 ^[1] 。中子及X射线的波长都于原子间距离(~150 pm)相若，因此它们很适合在这种长度作“探针”之用。

X射线与一晶体内原子的相互作用。

威廉·劳伦斯·布拉格使用了一个模型来解释这个结果，模型中晶体为一组各自分离的平行平面，相邻平面间的距离皆为一常数d。他的解释是，如果各平面反射出来的X射线成相长干涉的话，那么入射的X射线经晶体反射后会产生布拉格尖峰。当相位差为2π及其倍数时，干涉为相长的；这个条件可经由布拉格定律表示^[2]：

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \!}$

其中n为整数，λ为入射波的波长，d为原子晶格内的平面间距，而θ则为入射波与散射平面间的夹角。注意移动中的粒子，包括电子、质子和中子，都有对应其速度及质量的德布罗意波长。

根据 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2\theta \end{smallmatrix}}}$ 推导，相位差会导致相长（图左）或相消（图右）干涉。

布拉格定律由物理学家威廉·劳伦斯·布拉格爵士^[3]于1912年推导出来，并于1912年11月11日首度于剑桥哲学会中发表。尽管很简单，布拉格定律确立了粒子在原子大小下的存在，同时亦为晶体研究提供了有效的新工具──X射线及中子衍射。威廉·劳伦斯·布拉格及其父，威廉·亨利·布拉格爵士获授1915年诺贝尔物理学奖，原因为晶体结构测定的研究，他们测定了氯化钠、硫化锌及钻石的结构。 他们是唯一一队同时获奖的父子队伍，而威廉·劳伦斯·布拉格时年25岁，因此成了最年轻的诺贝尔奖得主。

布拉格条件

图为布拉格衍射。两束相同波长及相的辐射，向着固态晶体前进，最后被里面的两个原子所散射出去。下面的束被散射后，比上面的束多行了 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$ 的距离。当这个距离等于辐射波长的倍数时，散射后的两束辐射就会产生相长干涉。

当电磁辐射或亚原子粒子波的波长，与进入的晶体样本的原子间距长度相若时，就会产生布拉格衍射，入射物会被系统中的原子以镜面形式散射出去，并会按照布拉格定律所示，进行相长干涉。对于晶质固体，波被晶格平面所散射，各相邻平面间的距离为d。当被各平面散射出去的波进行相长干涉时，它们的相位依然相同，因此每一波的路径长度皆为波长的整数倍。进行相长干涉两波的路径差为${\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}$，其中${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\theta \end{smallmatrix}}}$为散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相邻晶体平面（由米勒指数h、k及l 标记），产生相长干涉的条件^[4] ：

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda \!}$，

其中n为整数，按各项参数大小而定，而λ则为波长^[5]。通过量度散射后入射波的强度，并将之表示成入射角的函数，可得干涉图样。在干涉图样中，当散射波满足布拉格条件，就会产生非常强的强度，它们叫布拉格尖峰。

倒空间

尽管很多人都以为布拉格定律量度的是实空间中的原子距离，但事实并不是这样的。在布拉格实验中，只有在量度的距离与晶格图中的d成反比时，第一陈述才似乎会是正确的。而且，从布拉格定律的${\displaystyle n\lambda }$项，可以看出定律量度两排原子间到底能放多少个波长，因此它所量度的是倒距离。倒晶格矢量描述的是某组晶格平面，它是这组平面的法矢量，其长度为${\displaystyle G=2\pi /d}$。马克斯·冯·劳厄用矢量形式正确地诠释了倒晶格矢量，并得出以他命名的劳厄方程：

${\displaystyle {\vec {G}}\ =\ {\vec {k_{f}}}\ -\ {\vec {k_{i}}}}$

其中${\displaystyle {\vec {G}}}$为倒晶格矢量，而${\displaystyle {\vec {k_{f}}}}$及${\displaystyle {\vec {k_{i}}}}$为入射及衍射束的波矢。

弹性散射条件${\displaystyle |k_{f}|=|k_{i}|}$，及散射角${\displaystyle 2\theta }$与上式结合后，基本上与布拉格方程等效。这是因为动量转移守恒的缘故。在这个系统中，其扫掠变量可以是长度、入射方向或出射波矢，其中波矢与系统中的能量及角度弥散有关。衍射角与Q空间的关系可用一简单的式子表示：

${\displaystyle Q={\frac {4\pi \sin \left(\theta \right)}{\lambda }}}$。

倒晶格是一晶格的傅里叶空间，在晶格上应用完整的波动力学时，这个概念是不可或缺的。

另一种推导

设一单色波（任何种类），进入一组对齐的平面晶格点，其平面间距为${\displaystyle d}$，入射角为${\displaystyle \theta }$，如右图所示。波被晶格点A反射后会沿AC'行进，而没有被反射的波则沿AB继续行进，被晶格点B反射后路径为BC。AC'与BC间存在路径差，表达式为

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')}$。

只有在路径差等于波长的整数倍时，这两股分开的波，在到达某一点时，会是同相位的，才会因此产生相长干涉，故相长干涉的产生条件为

${\displaystyle (AB+BC)-(AC')=n\lambda }$， （需要为C'下定义）

其中${\displaystyle n}$与${\displaystyle \lambda }$的定义同上。

从上图可见，

${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}\,}$ 且 ${\displaystyle AC={\frac {2d}{\tan \theta }}}$，

由此可得，

${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta }$。

组合上述各式，得

${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$，

简化后可得：

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$，

即布拉格定律。

胶体晶体的布拉格可见光散射

胶体晶体（英语：Colloidal crystal）为一种非常有序（英语：Order and disorder (physics)）的粒子阵列，可以在大范围内形成（长度从几微米到几毫米不等），而且可被看作原子及分子晶体的类比^[6]。球状粒子的周期性阵列，会形成出相似的空隙阵列，而这种阵列可被用作可见光的衍射光栅，尤其是当空隙与入射波长为同一数量级的时候^[7][8][9]。

因此，科学家们在很多年前就发现了，由于相斥库仑相互作用的关系，水溶液中的带电荷高分子，会表现出大范围的类晶体相互关联，当中粒子间距一般会比粒子直径要大得多。在自然的所有这种例子中，都可到看到一样的漂亮构造色（或晃动的色彩），这都可以归功于可见光波的相长干涉，而此时光波会满足布拉格条件，跟结晶固体的X射线衍射类似。

选择定则与实验晶体学

就跟上文提过的那样，布拉格定律可用于计算某立方晶系的晶格间距，关系式如下：

${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}}$

其中${\displaystyle a}$为立方晶体的晶格间距，而${\displaystyle h}$、${\displaystyle k}$及${\displaystyle l}$则为布拉格平面的密勒指数，将上式与布拉格定律结合可得：

${\displaystyle \left({\frac {\lambda \ }{2a}}\right)^{2}={\frac {\sin ^{2}\theta \ }{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$。

我们可以推导出各种不同立方布拉维晶格的密勒指数选择定则；以下是其种几种晶格的选择定则。

密勒指数的选择定则

布拉维晶格	化合物例子	可行反射	不可行反射
简单立方	钋、氯化钾	任何h、k、l	无
体心立方	铁、钨、钽、铬	h + k + l 为偶数	h + k + l 为奇数
面心立方	铜、铝、镍、氯化钠、氢化锂、硫化铅	h、k、l皆为奇数或偶数	h、k、l当中有奇数也有偶数
金刚石型	硒化锌、氯化铜、碘化银、氟化铜、硅、锗	皆为奇数，或皆为偶数且h+k+l = 4n	同上，或皆为偶数但h+k+l ≠ 4n
三角点阵（英语：Hexagonal lattice）	钛、锆、镉、铍	l为偶数或h + 2k ≠ 3n	l为奇数且h + 2k = 3n

这些选择定则可用于对应晶体结构下的任何晶体。尽管氯化钠呈现面心立方的结构，但是由于氯离子跟钠离子的大小相近，因此衍射图样实质上跟简单立方结构一致，只是各项晶体参数都小了一半。其他结构的选择定则可在各种相关的参考文献中找到，也可以自行推导出来。

另见

• 晶格
• 衍射
• 分散式布拉格反射器
• 光纤布拉格光栅（英语：Fiber Bragg grating）
• 亨德森极限（英语：Henderson limit）
• 衍射的动力学理论（英语：Dynamical theory of diffraction）
• 劳厄方程
• 粉末衍射（英语：Powder diffraction）
• 结构因子
• 威廉·劳伦斯·布拉格
• X射线晶体学

参考资料

1. John M. Cowley (1975) Diffraction physics (North-Holland, Amsterdam) ISBN 0-444-10791-6.
2. 例如，见使用布拉格定律计算原子间距离的例子 互联网档案馆的存档，存档日期2011-07-10.。
3. 有一些资料来源，例如《美国学术百科》，把这项发现归功于威廉·劳伦斯·布拉格及其父威廉·亨利·布拉格，然而 诺贝尔奖官方网站 （页面存档备份，存于互联网档案馆）及关于他的传记 ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 and "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) 都有明确指出，威廉·劳伦斯·布拉格是独立地推导出这条定律的。
4. H. P. Myers. Introductory Solid State Physics. Taylor & Francis. 2002. ISBN 0-7484-0660-3.
5. Carl. R. Nave. Bragg's Law. HyperPhysics, Georgia State University. [2008-07-19]. （原始内容存档于2020-11-12）.
6. Pieranski, P. Colloidal Crystals. Contemporary Physics. 1983, 24: 25. Bibcode:1983ConPh..24...25P. doi:10.1080/00107518308227471.
7. Hiltner, PA; IM Krieger. Diffraction of Light by Ordered Suspensions. Journal of Physical Chemistry. 1969, 73: 2306. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
8. Aksay, IA. Microstructural Control through Colloidal Consolidation. Proceedings of the American Ceramic Society. 1984, 9: 94.
9. Luck, W. et al., Ber. Busenges Phys. Chem. , Vol. 67, p.84 (1963)

延伸阅读

• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg, W.L. The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1913, 17: 43–57.

外部链接

• 1915年诺贝尔物理学奖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20100421231804/http://srs.dl.ac.uk/station/9.4/diffraction-selection-rules.htm
• http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）