十复合正四面体

在几何学中，十复合正四面体（英语：Compound of ten tetrahedra，又称为Tetrahedron 10-Compound），是一种多面体复合体，由10个正四面体组合而成。这个复合几何结构最早由埃德蒙·赫斯于1876年描述。^[1]十复合正四面体可以视为是一种复合体也可以视为一种星形二十面体^[2]:45，其可由2个互为镜像的五复合正四面体复合而成^[3]，也可以进一步地与大三角六边形二十面体复合成第二星形二十面体。^[2]:47

十复合正四面体

类别	复合正多面体 星形二十面体
对偶多面体	十复合正四面体（自身对偶）
识别
名称	十复合正四面体
参考索引	UC6, W25
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	e
性质
体	10
面	40
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=40, E=60, V=20 （χ=0）
组成与布局
复合几何体数量	10
复合几何体种类	10个正四面体
对称性
对称群	二十面体群（英语：Icosahedral symmetry） (Ih)
子群	手性（英语：Chirality (mathematics)）四面体群（英语：Icosahedral symmetry） (T)
图像
星状图（英语：Stellation_diagram） 星状（英语：Stellation）核 凸包 正二十面体 正十二面体
查 论 编

性质

十复合正四面体由10个正四面体组成，当中10个正四面体共用20个顶点，因此整个几何结构总共有40个面、60条边和20个顶点^[4]。其20个顶点的布局与正十二面体相同^[5]，故复合正四面体也可以视为是正十二面体经过刻面（英语：Faceting）后的结果。^[6]同时，这也代表着正十二面体为十复合正四面体的凸包。^[3]

十复合正四面体可以视为是五复合正四面体和其手性镜像的组合。^[2]:45另一方面，十复合正四面体的10个正四面体，亦可以两两分成一组，每组为二复合四面体。换句话说这个立体也可以视为是5个二复合四面体的复合体。^[7]由于十复合正四面体具备此特性，因此十复合正四面体也可以透过将五复合立方体的每个立方体替换成星形八面体来构造。

右旋五复合正四面体

左旋五复合正四面体

十复合正四面体

若将十复合正四面体视为1个星形二十面体，则这个立体由20个六角星面组成，而这些六角星面可以对应到星形二十面体的胞，在杜瓦记号中可以用Ef₁表示。^[8]

组成这种星形二十面体的六角星面

杜瓦记号Ef1对应的星状图

相关多面体

除了正二十面体形式的十复合正四面体外，另有一些其他具备一定对称性的10个正四面体之复合体。^[9]

第二星形二十面体

第二星形二十面体

类别	星形二十面体 收录于《五十九种二十面体》中
识别
名称	第二星形二十面体
参考索引	W27, 6/59
数学表示法
杜瓦表示法 （英语：Du Val's notation）	F
组成与布局
复合几何体数量	11
复合几何体种类	10个正四面体 1个第九星形二十面体
面的种类
对称性
对称群	Ih
图像
查 论 编

第二星形二十面体可以看做是从十复合正四面体的每个五角凹陷处伸出一个五角锥状尖刺的几何结构。^[2]:47第二星形二十面体是温尼尔在其著作《多面体模型（维基数据所列：Q108336243）》中描述的第二种星形二十面体，并编号为W₂₇；同时这个立体有被收录在哈里·惠勒（英语：A._Harry_Wheeler）的论文中^[10]。而在《五十九种二十面体》中，这种立体编号为6^[8]。

• 
  第九星形二十面体
• 
  十复合正四面体
• 
  第二星形二十面体

第二星形二十面体在杜瓦记号中可以用F来表示，^[8]这代表其包含了星形二十面体中的F层的所有胞，即从中间数来的第8个胞、第9个胞和第11个胞。^[11]

星形二十面体中的胞

第二星形二十面体的胞

参见

• 五复合正四面体

参考文献

1. Roger Kaufman. The 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra. interocitors.com. [2021-09-02]. （原始内容存档于2021-09-02）.
2. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-02]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
3. Weisstein, Eric W. (编). Tetrahedron 10-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
4. Wolfram, Stephen. "Tetrahedron 10-Compound". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
5. Makai Jr, Endre and Tarnai, Tibor. A colouring problem for the dodecahedral graph. Elemente der Mathematik. 2021, 76 (1): 1–9.
6. Bridge, NJ. Faceting the dodecahedron. Acta Crystallographica Section A: Crystal Physics, Diffraction, Theoretical and General Crystallography (International Union of Crystallography). 1974, 30 (4): 548–552.
7. Brokk. Regular Polyhedra. [2021-09-02]. （原始内容存档于2022-01-15）.
8. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F., The fifty-nine icosahedra 3rd, Tarquin, 1999, ISBN 978-1-899618-32-3, MR 0676126
9. Guest, SD. Mechanisms of the icosahedral compound of ten tetrahedra. Periodica Mathematica Hungarica (Springer). 2000, 39 (1): 213–223.
10. Wheeler, Albert Harry. Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra. Proc. Internat. Math. Congress, Toronto. 1924, 1: 701–708.
11. Stellation No. 35 of the Icosahedron. mathconsult.ch. [2021-09-02]. （原始内容存档于2021-09-02）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Tetrahedron 10-Compound. MathWorld.
• VRML model: [1]
• Compounds of 5 and 10 Tetrahedra（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.