素数阶乘

素数阶乘（又称：质数阶乘）是所有小于或等于该数的素数的积，自然数n的素数阶乘，写作n#。例如10以下的素数有：2、3、5、7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值，写作p_n#。例：第三个素数为5，所以p₃# = 5# = 5×3×2 = 30。 素数阶乘与阶乘不同于，素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。 素数阶乘由Harvey Dubner（英语：Harvey Dubner）定义并命名。

此条目介绍的是素数阶乘。关于另一种用法，请见“阶乘素数”。

p_n# 是计算第n个素数阶乘的函数

素数阶乘n#（红色的）与 阶乘n!（绿色的）的比较

用素数定义

第n个素数p_n的素数阶乘p_n#定义为前n个素数的积：^[1][2]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$

其中p_k是第k个素数。

例如，p₅#代表前五个素数的乘积：

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

前几个素数阶乘p_n#是：

2、 6、 30、 210、 2310、 30030、 510510、 9699690、 223092870、 6469693230、 ...（OEIS数列A002110）

并定义p₀# = 1 为空积。

素数阶乘p_n#的渐进递增为：

${\displaystyle p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}$^[2]

其中：

• "exp"是指数函数e^x
• "o"是大O符号^[2]

用自然数定义

一般情况下，对于正整数n的一素数阶乘n#（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：^[1][3]

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$

其中，π(n)是素数计数函数（OEIS数列A000720），表示小于或等于某个实数n的素数的个数。

它等于：

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\n\times ((n-1)\#)&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n>1\land n{\text{ is composite}}\end{cases}}}$

• prime指素数，composite指合成数

例如，12# 代表素数≤ 12：

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}$

因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310}$

前几个自然素数阶乘n#是：

1、 2、 6、 6、 30、 30、 210、 210、 210、 210、 2310、 2310

不难发现当n为合成数时，n#的值总是与(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p₅# = 11#，因为12为合成数。

n#的自然对数是第一个切比雪夫函数，记为${\displaystyle \theta (n)}$ 或 ${\displaystyle \vartheta (n)}$。换句话说，若${\displaystyle n\#}$是不大于n的素数的素数阶乘，则${\displaystyle \ln {n\#}=\vartheta (n)}$，或等价地，${\displaystyle n\#=e^{\vartheta (n)}}$^[4]

素数阶乘n#的渐进递增为：

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n}$

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）

恒等式

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function ${\displaystyle J_{k}(n)}$表示：

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

素数阶乘列表（部分）

n	n#	pn	pn#
0	1	无素数	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

参见

• 素数（质数）
• 阶乘
• 欧几里得数
• 邦泽不等式
• 切比雪夫函数

参考文献

1. Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.

1. Weisstein, Eric W. (编). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
3. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Weisstein, Eric W. (编). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.