欧几里得数

欧几里得数都是整数，其形式为E_n = p_n${\displaystyle \#}$ + 1，其中p_n${\displaystyle \#}$ 是p_n的素数阶乘 。命名是由古希腊数学家欧几里德来命名。

人们有时错误地说，欧几里德的著名的欧几里得定理:证明素数是无限的需要依赖于这些数字。^[1]事实上，欧几里德的证明并没有假设一个有限集合包含的所有素数的存在。相反，他说：

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

^[2]

意思是：考虑任何素数的有限集合（不一定是前n个素数，例如，它可能是集合{3，11，47}），然后从这两个方面得到这样的结论：至少存在一个素数不是在该集合。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）^[3].^[4]

前几个欧几里得数是为:

3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511 （OEIS数列A006862）.

目前还不知道是否存在无限多个欧几里得素数

E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509是第一个欧几里得合数

这表明并非所有欧几里得数都是素数。
欧几里得数不能是平方数. 因为欧几里得数除以4都余3. 对于所有的n ≥ 3的E_n(欧几里得数)之最后一位数字永远是1，因为E_n − 1必能被2和5整除(n ≥ 3)。

参考文献

1. Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
2. A. Borning, "有些结果${\displaystyle k!+1}$ and ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
3. 本段是译自Euclid number（英语：Euclid number）的文字第2段
4. Proposition 20. （原始内容存档于2011-01-23）.

参见

• 欧几里德穆林数列（英语：Euclid–Mullin sequence）
• 素数无穷性的证明 (Euclid's theorem)
• 素数阶乘
• 素数阶乘素数