貝肯斯坦上限

在物理学中，贝肯斯坦上限（英语：Bekenstein bound）是在一有限能量之有限空间内熵 $S$ 或资讯 $I$ 的上限。反过来说，该上限是要精确描述一物理系统至量子层级的最大需要资讯量^[1]。这表示若要精确描述一个占有有限空间之有限能量物理系统，只需要有限的资讯量。

缘起

贝肯斯坦从涉及黑洞的启发式观点导出此上限式。如果存在系统违反此不等式，也就是有太多的熵，则贝肯斯坦认为这将违反热力学第二定律。1995年，泰德·雅各布森（英语：Ted Jacobson）证明了爱因斯坦场方程^[a]可以借由假设贝肯斯坦上限和热力学定律的真实性而导出^[2]^[3]。然而，虽然一些理论已经表明某种形式的上限必须存在，以使热力学和广义相对论相互一致，但该上限的确切表述一直是人们争论的一个问题^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]。

表示式

此上限的普遍形式由雅各布·贝肯斯坦首次提出，以不等式表示之^[1]^[4]^[5]。以熵表示之该不等式为：

S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}}

其中 $S$ 是熵、 $k$ 是玻尔兹曼常数、 $R$ 是包围整个系统的球壳半径、 $E$ 是包含任何静止質量的总质能、 $\hbar$ 是约化普朗克常量、 $c$ 则是真空中的光速。然而，虽然重力在此效应中扮演着很重要的角色，但该不等式中并未出现万有引力常数 $G$ 。

若以二进制资讯表示之，则该不等式为：

I\leq {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}}

其中 $I$ 是资讯含量，以位元数表示球壳中所含有的量子态。而式中ln2项则来自定义资讯量为量子状态数目的自然对数值^[15]。若使用质能等价定理，该资讯上限式可表示为：

I\leq {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2.577\times 10^{43}mR

其中 $m$ 是系统質量，以公斤表示，而半径 $R$ 则以米作为其单位。

贝肯斯坦-霍金方程

1972年，史蒂芬·霍金证明了黑洞视界的表面积永不会减少，两个黑洞合并后的黑洞面积不会小于原先两个黑洞面积之和。与此同时，雅各布·贝肯斯坦运用此理论提出了黑洞熵的概念。为了符合热力学第二定律，黑洞必须拥有熵。如果黑洞没有熵，则可以借由将物质丢入黑洞中来违反热力学第二定律。黑洞熵的增加必须超过被吞入物质所减少的熵。贝肯斯坦认为，黑洞的表面积与它的熵含量成正比，从而使其不违反热力学第二定律。贝肯斯坦在他的论文中指出：

“

黑洞物理学和热力学之间存在有很多相似之处，其中最显著的是黑洞表面积和熵的行为的相似性：这两个量都是不可逆地增加的^[16]。

”

——雅各布·贝肯斯坦：《黑洞和熵》Phys. Rev. D 7:2333-2346 (1973)

贝肯斯坦认为，黑洞表面积与其熵含量的正比系数接近 ${\frac {{\frac {1}{2}}\cdot \ln {2}}{4\pi }}$ 。1974年，霍金提出了霍金辐射^[17]^[18]，并运用能量、温度与熵之间的热力学关系证实了贝肯斯坦的猜想，同时修正其正比系数为 ${\frac {1}{4}}$ ^[19]^[10]：

S_{\text{BH}}={\frac {kA}{4\ell _{\mathrm {P} }^{2}}}

其中 $A$ 是黑洞视界的表面积，利用 $4\pi R^{2}$ 求得。 $k$ 是玻尔兹曼常数， $\ell _{\mathrm {P} }={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}$ 则是普朗克长度。此公式经常被称为“贝肯斯坦-霍金方程”（Bekenstein–Hawking formula），其中下标BH可指黑洞（black hole）或贝肯斯坦-霍金（Bekenstein-Hawking）的首字母缩写。使用贝肯斯坦上限求得之最大熵含量正好等于由此方程求得之黑洞熵，此结果促成了全息原理的发展^[10]。