莫尔斯理论

在微分拓扑中，莫尔斯理论使人们能通过流形上的可微函数分析流形的拓扑。根据马斯顿·莫尔斯的基本见解，流形上的可微函数在典型的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到CW结构和柄分解，并得到关于它们的同调的信息。

在莫尔斯之前，阿瑟·凯莱和麦克斯韦在测绘学中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于测地线（路径的能量泛函的临界点）。这些技术被拉乌尔·博特用于他的著名的博特周期性定理的证明中。 莫尔斯理论在复流形中的类似理论是皮卡第–莱夫谢茨理论。

基本概念

鞍点

考虑山地地表表面M（或流形）。若函数f${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$给出当点海拔，则${\displaystyle \mathbb {R} }$中一点的原像就是一条等高线（或水平集）。等高线的连通组分或者是点，或者是简单闭合曲线，或者是有二重点的闭合曲线。等高线也可能有更高阶的点（三重点等等），但不稳定，可能因地形的轻微变化而消失。等高线中的二重点出现在鞍点或通路。

鞍点附近的等高线

想象用水淹没等高线下的地形。水位达到a时，水下的表面是${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$，海拔不高于a的点。想象一下随着水位上升，这个面的拓扑结构将如何变化。除了当a经过临界点的海拔时，f的梯度都为0（更一般地，作为切空间之间线性映射的雅可比矩阵不具有最大秩）。也就是说，除非(1)水流注入盆地，(2)覆盖鞍点（山道），或(3)淹没山顶，否则${\displaystyle M^{a}}$的拓扑不变。

环面

盆地、山路、山顶（即最小点、鞍点、最大点）这三类临界点，一般与指标（index）有关，即f从该点递减的独立方向数。或者说，f的非退化临界点p的指标是M在p处切空间的最大子空间的维度，其中f的黑塞矩阵是负定的。盆地、山路、山顶的指标分别是${\displaystyle 0,1,2}$。

考虑更一般的面，令M是方向如图所示的环面，f还是点到平面的距离。可以再次分析水下面${\displaystyle M^{a}}$的拓扑结构如何随水位a上升而变化。

${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$时，由${\displaystyle M^{a}}$形成的圆柱体（右上）与附着于圆盘的1-胞腔（左下）同伦等价。

${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$时，由${\displaystyle M^{a}}$形成的去圆盘环面（右上）与附着于圆柱的1-胞腔（左下）同伦等价。

从环面底部开始，令${\displaystyle p,q,r,s}$分别是指标为${\displaystyle 0,1,1,2}$的临界点，对应最小值、两个鞍点、最大值。${\displaystyle a<f(p)=0}$时，${\displaystyle M^{a}}$是空集；a经过p的海拔之后有${\displaystyle 0<a<f(q)}$，则${\displaystyle M^{a}}$是圆盘，它同伦等价于“附着”到空集的一个点（0-胞腔）。接着，a越过q的海拔时有${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$，则${\displaystyle M^{a}}$是圆柱，同伦等价于附着了1-胞腔的圆盘（左图）。a越过r的海拔时有${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$，则${\displaystyle M^{a}}$是去圆盘的环面，同伦等价于附着了1-胞腔的圆柱（右图）。最后，a高于s的海拔后，${\displaystyle M^{a}}$便是环面了，即去掉一个圆盘（2-胞腔）并重新附着的环面。

这说明了以下规则：除非a越过临界点，否则${\displaystyle M^{a}}$的拓扑不变；遇到临界点时，一个${\displaystyle \gamma }$-胞腔会被附着到${\displaystyle M^{a}}$，其中${\displaystyle \gamma }$是点的指标。这没有说明两个临界点位于同一高度时会发生什么，可以通过扰动f来解决。若是嵌入欧氏空间的景观或流形，这种扰动可能只是稍微倾斜、旋转坐标系。

必须注意不能使临界点退化。设想退化会造成什么问题：令${\displaystyle M=\mathbb {R} }$、${\displaystyle f(x)=x^{3}}$。则0是f的一个临界点，但a经过0时${\displaystyle M^{a}}$的拓扑并不改变。这是因为f在0的二阶导${\displaystyle f''(0)=0}$，也就是f的黑塞矩阵为0，临界点退化。这种情形是不稳定的，因为将f扰动为${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$，则退化的临界点或者被移除（${\displaystyle \epsilon >0}$）或者分解为两个非退化临界点（${\displaystyle \epsilon <0}$）。

形式发展

对于微分流形M上的实值光滑函数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，f的微分为0的点称作f的临界点，在f下的像称作临界值。若临界点p处，二阶偏导数矩阵（黑塞矩阵）非奇异，则p称作非退化临界点；若黑塞矩阵是奇异的，则p称作退化临界点。

函数${\displaystyle f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$： $${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$ ${\displaystyle b=0}$时，原点是f的一个临界点。若${\displaystyle c\neq 0}$，则此临界点是非退化的（即f具有形式${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$）；若${\displaystyle c=0}$，则此临界点是退化的（即f具有形式${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$）。退化临界点的一个不太平凡的例子是猴鞍面的原点。

f的非退化临界点p的指标（index）是M在p处的切空间中黑塞矩阵为负定阵的最大子空间的维数。这与指标是f递减的方向个数的概念直观对应。临界点的退化性和指标同所用的局部坐标系无关，如西尔维斯特惯性定理所示。

莫尔斯引理

令p为${\displaystyle f:M\to R}$的非退化临界点。则，在p的邻域U中存在卡${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$，使得${\displaystyle \forall i,\ x_{i}(p)=0}$且在整个U中 $${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$ 其中${\displaystyle \gamma }$等于f在p处的指标。作为莫尔斯引理的推论，可以看到非退化临界点是孤点（关于复数域的扩张，可见复莫尔斯引理。关于推广，见莫尔斯–帕莱引理）。

基本定理

流形M上的光滑实值函数若无退化临界点，则称作莫尔斯函数。莫尔斯理论的基本结果表明，几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上，莫尔斯函数形成了${\displaystyle C^{2}}$拓扑中所有光滑函数${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$的一个开稠密子集，这有时表述为“典型的函数是莫尔斯的”或“通有的函数是莫尔斯的”。

如上述，我们感兴趣的是${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$的拓扑何时会随着a的变化而变化。下面的定理给出了这个问题的一半答案。

定理. 设f是M上的光滑实值函数，${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$是紧的，且a、b间无临界值。则${\displaystyle M^{a}}$微分同胚于${\displaystyle M^{b}}$，${\displaystyle M^{b}}$形变收缩到${\displaystyle M^{a}}$上。

我们还有兴趣知道，a经过临界点时${\displaystyle M^{a}}$的拓扑会怎样变化。下面的定理回答了这个问题。

定理. 设f是M上的光滑实值函数，p是指标为${\displaystyle \gamma }$的f的非退化临界点，${\displaystyle f(p)=q}$。设${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$是紧的，且除了q以外不包含临界点。则${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$同伦等价于${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$，并附加了一个${\displaystyle \gamma }$-胞腔。

这些结果是对上一节所述“规则”的推广与形式化。

用前面两个结果以及微分流形上存在莫尔斯函数的事实，可以证明微分流形是CW复形，指标为n的临界点都附加了n-胞腔。可在临界水平面上安排一个临界点来证明，通常通过类梯度向量场重排临界点来实现。

莫尔斯不等式

莫尔斯理论可用于证明流形同调的一些有力结果。函数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$的指标为${\displaystyle \gamma }$的临界点数量等于“爬升”f得到的M上CW结构中${\displaystyle \gamma }$-胞腔的数量。利用拓扑空间同调群的秩的交替和等于链群（计算同调用）的秩的交替和，用胞腔链群（见胞腔同调），很明显欧拉示性数${\displaystyle \chi (M)}$等于 $${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$ 其中${\displaystyle C^{\gamma }}$是指标为${\displaystyle \gamma }$的临界点数量。同样根据胞腔同调，CW复形M的第n同调群的秩不大于M中n-胞腔的数量。于是，第${\displaystyle \gamma }$同调群的秩、即贝蒂数${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$不大于M上莫尔斯函数的指标为${\displaystyle \gamma }$的临界点数量。强化这些事实可得到莫尔斯不等式： $${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

特别地 $${\displaystyle \forall \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$ 都有 $${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

这给出了研究流形拓扑的有力工具。假设在闭流形上存在莫尔斯函数${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$，恰有k个临界点，则f的存在以何种方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了${\displaystyle k=2}$情形，里布球面定理指出，M同胚于球面${\displaystyle S^{n}}$。${\displaystyle k=3}$情形只可能出现于少数低维情形，M同胚于伊尔斯–柯伊伯流形。 爱德华·威滕 (1982)考虑扰动算子${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}}$的德拉姆复形，提出了莫尔斯不等式的解析方法。^[1][2]

用于闭2-流形的分类

莫尔斯理论可用于对闭2-流形在微分同胚意义上进行分类。若M有向，则M依其亏格g分类，且与具有g柄的球面微分同胚：若${\displaystyle g=0}$，则M微分同胚于2-球面；若${\displaystyle g>0}$，则M微分同胚于g 2-环面的连通和。若N无向，则M依正数g分类，微分同胚于g个实射影空间${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}}$的连通和。特别地，当且仅当两闭2-流形微分同胚时，它们同胚。^[3][4]

莫尔斯同调

莫尔斯同调是理解光滑流形的同调一种很简单的方法。莫尔斯同调使用莫尔斯函数和黎曼度量的一般选择来定义，基本定理是：所得的同调是流形的不变量（即与函数和度量无关），同构于流形的奇异同调；这意味着莫尔斯和奇异贝蒂数一致，并给出了莫尔斯不等式的直接证明。莫尔斯同调在辛几何中的类似物是弗洛尔同调。

莫尔斯–博特理论

莫尔斯函数的概念可以推广到以非退化流形作为临界点的函数。莫尔斯–博特函数是流形上的光滑函数，其临界集是闭子流形，它的黑塞矩阵在法向上非退化（等价地，临界点处的黑塞矩阵核等于对临界子流形的切空间）。莫尔斯函数是临界流形为0维时的特例（于是临界点处的黑塞矩阵在每个方向上非退化，即无核）。

指标可被自然地认为是一对 $${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$ 其中${\displaystyle i_{-}}$是不稳定流形在临界流形给定点上的维度，${\displaystyle i_{+}=i_{-}+}$临界流形维度。若莫尔斯–博特函数在临界轨迹（locus）上被小函数扰动，则在未扰动函数的临界流形上，扰动函数所有临界点的指标将介于${\displaystyle i_{-}}$、${\displaystyle i_{+}}$之间。

莫尔斯–博特函数非常有用，因为一般的摩尔斯函数不易处理。能直观看到、可轻松计算的函数通常具有对称性。拉乌尔·博特在最初证明博特周期性定理时使用了莫尔斯–博特理论。

圆形函数是莫尔斯–博特函数的例子，其中临界集是圆（的不交并）。

莫尔斯同调也可用于莫尔斯–博特函数；莫尔斯–博特同调中的微分是由谱序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫尔斯–博特版本的辛场论时勾勒出一种方法，但由于分析上的巨大困难，这项工作从未发表。

另见

• 阿尔姆格伦–匹茨最小-最大理论
• 数字莫尔斯理论
• 离散莫尔斯理论
• 雅可比集
• 拉格朗日格拉斯曼流形

• LS范畴

• 莫尔斯–斯麦尔系统
• 山路定理
• 萨德引理
• 分层莫尔斯理论

参考文献

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阅读更多

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