在 可微 的实函数 或复函数
f
{\displaystyle f}
临界点 （英语：Critical point ）是指在
f
{\displaystyle f}
定义域 中导数 为 0 的点[ 1] [ 2] [ 注 1] 多变数实函数 偏导数 为 0 的点[ 3] 函数值 称为临界值。
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临界点 (数学) ”标题相近或相同的条目页，请见“
临界点 ”。
红点的 x 座标(横坐标)是临界点；蓝点的 x 座标是拐点 这个概念重要的地方在于函数的局部极值 会发生在临界点 上。
这个定义可以延伸到
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
雅可比矩阵 的秩 不是最大的点。更进一步可以再延伸到微分流形 之间的可微函数，在这个情况下临界点也可以被称为歧点 。
特别的，假设
C
{\displaystyle C}
隐函数
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
平面曲线 。把
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
隐函数定理 的点。
临界点这个概念能够使用数学来描述哥白尼 时代之前无法解释的天文学 现象，一个星球的轨迹的留点是一个在天球 的星球轨迹上星球转向其他方向前看起来停止的点，因为它是在黄道圆 上轨迹投影的临界点。
一个可微 实函数
f
{\displaystyle f}
临界点
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
{\displaystyle f}
定义域 中导数 为0的点:
f
′
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle f'(x_{0})=0}
临界值 是临界点在
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
函数图形 来具象化:函数图形在临界点的位置会有水平切线 而且函数的导数为0。虽然临界点可以借由函数图形来具现化，但函数临界点的概念和曲线在某些方向上的临界点的概念并不能混为一谈。如果
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle g(x,y)}
函数 ，
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle g(x,y)=0}
隐式方程 ，这样的曲线对于平行 y 轴的投影(映射
(
x
,
y
)
→
x
{\displaystyle (x,y)\rightarrow x}
临界点 ，是曲线上满足
∂
g
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0}
隐函数定理 )。如果
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
临界值 。这样的临界点也可以被称为歧点 ，而且当x变动时，在
x
0
{\displaystyle x_{0}}
如果
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
f
{\displaystyle f}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
例如，方程式
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
单位圆 ，将单位圆平行 y 轴投影到 x 轴的临界点是 (0, 1) 和 (0, -1)；将单位圆平行 x 轴投影到 y 轴的临界点是 (1, 0) 和 (-1, 0)。上半圆是
f
(
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
有些作者会将函数
f
{\displaystyle f}
临界点 定义为
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
函数
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
f
′
(
x
)
=
2
x
+
2
{\displaystyle f'(x)=2x+2}
2
x
0
+
2
=
0
{\displaystyle 2x_{0}+2=0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
最小值 ，且对应到的临界值为
f
(
−
1
)
=
2
{\displaystyle f(-1)=2}
f
{\displaystyle f}
抛物线 ，其临界点是在切线为水平线的顶点 的横坐标，而临界值则是顶点纵坐标，或者是说，切线与y轴的交点。
函数
f
(
x
)
=
x
2
3
{\displaystyle f(x)=x^{\frac {2}{3}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
′
(
x
)
=
2
3
x
−
1
3
{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}x^{-{\frac {1}{3}}}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
f
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f'(x)\neq 0}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
尖点 ，且切线是铅垂方向。如果视 0 为临界点，则它对应到的临界值是 f(0)=0。
函数
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+1}
f
′
(
x
)
=
3
x
2
−
3
{\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3}
f
{\displaystyle f}
f
(
−
1
)
=
3
{\displaystyle f(-1)=3}
f
(
1
)
=
−
1
{\displaystyle f(1)=-1}
f
(
2
)
=
3
{\displaystyle f(2)=3}
函数
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
根据高斯-卢卡斯定理 ，在复平面 上所有多项式函数的临界点会落在函数的根 所构成的凸包 内。所以对于一个只有实数解的多项式函数，所有的临界点会是实数且落在最大的根和最小的根之间。
森多夫猜想 单位圆 中，那么对于任意给定的根，至少有一个临界点与其的距离不超过1。
在由隐函数 定义出的平面曲线 的研究上，临界点扮演重要的角色，特别是在描绘曲线与决定拓朴 结构方面。在本节中，临界点定义由以下段落给出，它可能看起来与前面的定义完全不同，但事实上，它是前面定义的一个特殊情形。二维平面 上的曲线
C
{\displaystyle C}
笛卡尔座标 满足由双变数可微函数
f
{\displaystyle f}
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
π
x
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle \pi _{x}(x,y)=x}
π
y
(
x
,
y
)
=
y
{\displaystyle \pi _{y}(x,y)=y}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
如果 C 在某个点上的切线 存在，并且平行y轴，则称该点是
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
临界点 。此时，整条切线，包含该点，在
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
像 都是同样的值，称为临界值 。所以
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
f
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
类似的，我们有
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
函数图形 ，则
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
x
{\displaystyle x}
g
{\displaystyle g}
有些作者将平面曲线 C 的临界点定义为
π
x
{\displaystyle \pi _{x}}
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
奇点 也定义做临界点，其中奇点是那些满足方程式
f
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}
的点。在这个定义之下，
π
y
{\displaystyle \pi _{y}}
隐函数定理 的点。
如果一个曲线
C
{\displaystyle C}
判别式 会是一个计算临界点的有用工具。
给定一个从R m 送到R n 的可微分函数 f ，则 f 的临界点 是那些满足 f 的雅可比矩阵 的秩小于 n 的点。而临界点在 f 之下所对应到的像称为临界值。如果一个点，位于所有临界值所形成的集合的补集之中，便称之为正则值。根据萨尔德定理
这个定义可以延伸到微分流形 上的可微函数。
Stewart, James . Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole . 2008. ISBN 0-495-01166-5 
