实函数(Real function),指定义域和值域均为实数集的子集的函数。实函数的特性之一是可以在坐标平面上画出图形。
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定义
一个实函数 f 是一个把实数(一般以 x 表示)映射到另一实数(函数的值,一般以 f(x) 表示)的函数。换句话说,实函数是一个函数 ,当中 是 一个包含至少一个开集的子集(可以等于 )。
一个实函数的定义域未必总是明确写出。对任一定义域为 X 的实函数 f 和任一 X 的子集 Y,可定义 f 对 Y 的限制函数 f|Y。其定义域为 Y 而对所有 Y 的元素,函数的取值维持不变。若 Y 是 X 的真子集,这两个函数理论上并不相同,但往往可将两者视为等同。
相反,有时函数的定义域可透过解析延拓或利用函数的连续性扩大。由此可见,明确指出实函数的未必有明显价值。
函数 f 的值域是指当 x 可取定义域内任何值时,f(x) 所有可能取值的集合。若 f 是连续实函数而其定义域是一个区间,那么它的值域也会是一个区间(除非 f 是常数函数,此时其值域将是一点)。
对任何实数 y,方程式 y=f(x) 所有实数解的集合称为 y 的原像。
实函数之间的运算可如下定义:
- 对任意实数 r 及实函数 f,可定义两者的积 。若 r 不等于 0,则此函数的定义域与 f 相同。
- 对任何两个实函数 f 和 g,可定义两者的和 及积 。两者的定义域均为 f 和 g 的定义域的交集。
由此,所有定义于全部实数和所有定义于某一特定区间的实函数分别组成 上的结合代数(也因此组成一个向量空间),其中加法和乘法单位元分别为常数函数 及 。
虽然对任意实函数 f 可定义 ,但由于此函数的定义域不包含所有使得 f(x)=0 的 x 值,它不一定等于 f 的定义域,所以上述代数结构不构成一个体。
参见
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