极限点

极限点（英语：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点^{[注 1]}随意逼近的点。^{[注 2]}

这个概念有益的推广了极限的概念，并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。^{[注 3]}

定义

定义 — 
${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 为拓扑空间 ， ${\displaystyle A\subseteq X}$ 为${\displaystyle X}$的子集；若对${\displaystyle X}$ 的某点${\displaystyle x\in X}$，所有包含 ${\displaystyle x}$ 的开集也有 ${\displaystyle A}$ 内的非 ${\displaystyle x}$ 点，即：

${\displaystyle (x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}}$

则称 ${\displaystyle x}$ 为 ${\displaystyle A}$ 的极限点（limit point）。由 ${\displaystyle A}$ 的所有极限点所组成的集合称为 ${\displaystyle A}$ 的导集（derived set），通常记为${\displaystyle A^{\prime }}$，换句话说：

${\displaystyle A^{\prime }:={\bigg \{}x\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}{\bigg \}}}$

以上的定义来自于“总是可以找到一组${\displaystyle A}$ 内的点去逼近${\displaystyle x}$ ”的粗略想法，但一般的拓扑空间的不一定有像距离这样的工具来比较“开集的大小”，若想以极限点严谨地描述“可沿着 ${\displaystyle A}$ 去逼近点${\displaystyle x}$”的话，还需要对${\displaystyle (X,\,\tau )}$做额外的假设。

特殊类型的极限点

定义 — 
${\displaystyle (X,\,\tau )}$ 为拓扑空间 ， ${\displaystyle A\subseteq X}$ 为${\displaystyle X}$的子集：

若包含${\displaystyle x}$的所有开集都包含可数个${\displaystyle A}$ 的点，则称${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。

若包含${\displaystyle x}$ 的所有开集都包含不可数个${\displaystyle A}$的点，则称${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的缩合点（condensation point）。

度量空间的聚集点

度量空间${\displaystyle M}$ 自然的带有由度量${\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} ^{+}}$生成的拓扑 ${\displaystyle \tau _{d}}$ ；更仔细地说，是由以开球为元素的拓扑基所生成的拓扑，也就是${\displaystyle \tau _{d}}$里的开集都是某群开球的联集。这样对开球定义极限点的话，就会等价于对${\displaystyle \tau _{d}}$定义（因为属于某个开球等价于属于某开集），换句话说，对度量空间可以作如下定义：

定义 — 
${\displaystyle (M,\,d)}$是度量空间 ，且 ${\displaystyle A\subseteq M}$ ；若 ${\displaystyle x\in M}$ ，且对所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle a\in A}$ 使得 ${\displaystyle 0<d(x,\,a)<\epsilon }$ ，也就是

${\displaystyle (x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]}$

这样称 ${\displaystyle x}$ 是 ${\displaystyle A}$  的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）

直观上可理解为“可以用 ${\displaystyle A}$ 里的点（以度量 ${\displaystyle d}$ ）无限制地逼近${\displaystyle x}$”。应用上， ${\displaystyle x}$ 为定义域的聚集点也是函数极限能在 ${\displaystyle x}$ 上有定义的前提条件。

在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价

性质

• 关于极限点的性质：${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的极限点，当且仅当它属于${\displaystyle S}$ \ {${\displaystyle x}$}的闭包。
  • 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是${\displaystyle S}$的极限点，当且仅当所有${\displaystyle x}$的邻域都包含一个非${\displaystyle x}$的点属于S，当且仅当所有${\displaystyle x}$的邻域含有一个点属于${\displaystyle S}$\ {x}，当且仅当${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S\ {''x''}}$的闭包。

• ${\displaystyle S}$的闭包具有下列性质：${\displaystyle S}$的闭包等于${\displaystyle S}$和其导集的并集。
  • 证明：（从左到右）设${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的闭包。若${\displaystyle x}$属于S，命题成立。若${\displaystyle x\notin S}$，则所有${\displaystyle x}$的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$的点属于${\displaystyle S}$；也就是说，x是${\displaystyle S}$的极限点，${\displaystyle x\in S'}$。（从右到左）设${\displaystyle x}$属于S，则明显地所有${\displaystyle x}$的邻域和${\displaystyle S}$相交，所以${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的闭包。若${\displaystyle x}$属于L(S)，则所有${\displaystyle x}$的邻域都含有一个非${\displaystyle x}$的点属于S，所以${\displaystyle x}$也属于${\displaystyle S}$的闭包。得证。

• 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合${\displaystyle S}$是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。
  • 证明1：S是闭集，当且仅当${\displaystyle S}$等于其闭包，当且仅当${\displaystyle S}$=${\displaystyle S}$∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。
  • 证明2：设${\displaystyle S}$是闭集，${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的极限点。则${\displaystyle x}$必须属于S，否则${\displaystyle S}$的补集为${\displaystyle x}$的开邻域，和${\displaystyle S}$不相交。相反，设${\displaystyle S}$包含所有它的极限点，需要证明${\displaystyle S}$的补集是开集。设${\displaystyle x}$属于${\displaystyle S}$的补集。根据假设，x不是极限点，则存在${\displaystyle x}$的开邻域U和${\displaystyle S}$不相交，则U在${\displaystyle S}$的补集中，则${\displaystyle S}$的补集是开集。

• 孤点不是任何集合的极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$是孤点，则{x}是只含有${\displaystyle x}$的${\displaystyle x}$的邻域。

• 空间${\displaystyle x}$是离散空间，当且仅当${\displaystyle x}$的子集都没有极限点。
  • 证明：若${\displaystyle x}$是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若${\displaystyle x}$不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则${\displaystyle x}$是${\displaystyle x}$的极限点。

• 若空间${\displaystyle x}$有密着拓扑，且${\displaystyle S}$是${\displaystyle x}$的多于一个元素的子集，则${\displaystyle x}$的所有元素都是${\displaystyle S}$的极限点。若${\displaystyle S}$是单元素集合，则所有${\displaystyle x}$\${\displaystyle S}$的点仍然是${\displaystyle S}$的极限点。
  • 说明：只要${\displaystyle S}$\ {x}非空，它的闭包就是X；只有当${\displaystyle S}$是空集或${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的唯一元素时，它的闭包才是空集。
• ${\displaystyle X}$为T₁空间，则 ${\displaystyle x}$ 为${\displaystyle A\subseteq X}$ 的极限点等价于 ${\displaystyle x}$ 的每个邻域皆包含无限多个 ${\displaystyle A}$ 的点。^{[注 4]}

注释

1. 不包含极限点本身
2. 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
3. 一个有关的概念是序列的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。
4. 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，这样通常会比较轻松。

引用

• limit point. PlanetMath.