已知最大素数

已知最大素数（截至2024年10月 (2024-10)^[update]）为2^136,279,841 − 1，十进制时有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）的志愿者卢克 · 杜兰特（Luke Durant）于2024年发现。^[1]

电子电脑发明后已知最大素数数位的按年图表，至2016年为止。垂直刻度为对数尺度，红线为曲线拟合：y = exp(0.187394 t − 360.527)，t为年份

质数，又名素数，是一个除1与自身之外没有其他约数的正整数。欧几里得定理说明素数没有上限，不少数学家与嗜好者故一直寻找大素数。

不少大素数为梅森素数，定义为2的幂减去1的正整数。截至2024年10月 (2024-10)^[update]，首七个已知大素数皆为梅森素数^[2]。近十八次最大素数纪录皆为梅森素数^[3][4]。所有梅森素数的二进制表示中，所有数字皆为1^[5]。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速寻找到梅森素数。

现时纪录

截至2024年，已知最大素数为2^136,279,841 − 1，共有41,024,320位数，由互联网梅森素数大搜索于2024年10月12日发现^[1]。其数值为：

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...

(省略41,024,080位)

... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

上面只显示首尾各120位数。^[6]

奖金

互联网梅森素数大搜索现为下载其软件并成功寻找新梅森素数的参与者提供3,000美元奖金，该梅森素数的数位应少于一亿位。

电子前哨基金会亦为大素数的找寻设立了数个奖项^[7]，互联网梅森素数大搜索亦有协调一亿数位以上的素数搜索，并与成功寻找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金奖金。

1999年发现首个超过一百万数位的素数，并取得50,000美元奖金^[8]。2008年发现了超过一千万数位的素数，并取得100,000美元奖金^[7]。时代杂志称之为2008年第29名最佳发现^[9]两项奖金皆为互联网梅森素数大搜索的参加者。电子前哨基金会现为首个一亿及十亿数位的素数提供奖金^[7]。

已知最大素数历史

下表列出已知最大素数沿革，并按时序排列^[3]。此处M_n = 2ⁿ − 1，为2的n次方。时间最长的纪录保持者为M₁₉ = 524,287，为已知最大素数共计144年。1456年之前未存有关最大素数的纪录。

数字	数字展开 （仅限小于M5000的数字）	数位	发现年份	发现者
M13	8,191	4	1456	佚名
M17	131,071	6	1588	伯多禄·卡塔迪
M19	524,287	6	1588	伯多禄·卡塔迪
${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	6,700,417	7	1732	莱昂哈德·欧拉 欧拉并未正式发表此数，但他于232 + 1的因式分解中已完成此素数的大部分证明过程，故部分专家认为欧拉知道此为素数[10]
M31	2147483647	10	1772	莱昂哈德·欧拉
${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67,280,421,310,721	14	1855	汤马斯·克劳森（英语：Thomas Clausen (mathematician)）
M127	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	爱德华·卢卡斯
${\displaystyle {\tfrac {2^{148}+1}{17}}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier 使用机械计算机发现，非使用电脑发现的最大素数
180×(M127)2+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221	79	1951	J. C. P.米勒（英语：J. C. P. Miller）与大卫·惠勒（英语：David Wheeler (computer scientist)）[11] 使用剑桥大学（英语：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC电脑
M521	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M607	531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127	183	1952
M1279	104079321946...703168729087	386	1952
M2203	147597991521...686697771007	664	1952
M2281	446087557183...418132836351	687	1952
M3217	259117086013...362909315071	969	1957
M4423	285542542228...902608580607	1,332	1961
M9689	478220278805...826225754111	2,917	1963
M9941	346088282490...883789463551	2,993	1963
M11213	281411201369...087696392191	3,376	1963
M19937	431542479738...030968041471	6,002	1971
M21701	448679166119...353511882751	6,533	1978
M23209	402874115778...523779264511	6,987	1979
M44497	854509824303...961011228671	13,395	1979	854509824303...961011228671
M86243	536927995502...709433438207	25,962	1982	536927995502...709433438207
M132049	512740276269...455730061311	39,751	1983
M216091	746093103064...103815528447	65,050	1985
391581×2216193−1	148140632376...836387377151	65,087	1989	群组发现，包括约翰·布朗、蓝登·克特·诺尔（英语：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、乔尔·史密夫、沙治奥[12][13]，为已知最大素数历史中最大的非梅森素数。
M756839	174135906820...328544677887	227,832	1992
M859433	129498125604...243500142591	258,716	1994
M1257787	412245773621...976089366527	378,632	1996
M1398269	814717564412...868451315711	420,921	1996	互联网梅森素数大搜索，乔尔·阿孟较得
M2976221	623340076248...743729201151	895,932	1997	互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯
M3021377	127411683030...973024694271	909,526	1998	互联网梅森素数大搜索，罗兰·克拉克森
M6972593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999	互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉华拉
M13466917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001	互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅伦
M20996011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003	互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫
M24036583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004	互联网梅森素数大搜索，乔许·芬德利
M25964951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005	互联网梅森素数大搜索，马田·诺或
M30402457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩
M32582657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀与史提夫·布恩
M43112609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008	互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫
M57885161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M74207281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M77232917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017	互联网梅森素数大搜索，强纳森·佩斯
M82589933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018	互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉罗次
M136279841	881694327503...219486871551	41,024,320	2024	互联网梅森素数大搜索，卢克·杜兰特

互联网梅森素数大搜索发现了近十五个最大素数纪录。

二十大已知素数

克里斯·科德韦尔设有一列表，内共有已知最大的五千个素数^[14][15]，其中最大二十个列于下表。

排名	数字	发现日期	数位	种类	参考资料
1	2136279841 − 1	2024-10-12	41,024,320	梅森素数	[1]
2	282589933 − 1	2018-12-07	24,862,048	梅森素数	[16]
3	277232917 − 1	2017-12-26	23,249,425	梅森素数	[17]
4	274207281 − 1	2016-01-07	22,338,618	梅森素数	[18]
5	257885161 − 1	2013-01-25	17,425,170	梅森素数	[19]
6	243112609 − 1	2008-08-23	12,978,189	梅森素数	[20]
7	242643801 − 1	2009-06-04	12,837,064	梅森素数	[21]
8	Φ3(−5166931048576) （5166932097152−5166931048576+1）	2023-10-02	11,981,518	广义唯一素数	[22]
9	Φ3(−4658591048576) （4658592097152−4658591048576+1）	2023-05-31	11,887,192	广义唯一素数	[23]
10	237156667 − 1	2008-09-06	11,185,272	梅森素数	[20]
11	232582657 − 1	2006-09-04	9,808,358	梅森素数	[24]
12	10223 × 231172165 + 1	2016-10-31	9,383,761	普罗斯数	[25]
13	230402457 − 1	2005-12-15	9,152,052	梅森素数	[26]
14	4 × 511786358 + 1	2024-10-01	8,238,312	广义普洛斯数	[27]
15	225964951 − 1	2005-02-18	7,816,230	梅森素数	[28]
16	69 × 224612729 − 1	2024-08-13	7,409,102		[29]
17	224036583 − 1	2004-05-15	7,235,733	梅森素数	[30]
18	107347 × 223427517 − 1	2024-08-04	7,052,391		[31]
19	3 × 222103376 − 1	2024-09-30	6,653,780	塔别脱数	[32]
20	19637361048576 + 1	2022-09-24	6,598,776	广义费马数	[33]

参见

• 梅森素数
• 素性测试
• 素数
• 费马数
• 卡伦数
• 胡道尔数
• 泰坦素数（英语：Titanic prime）
• 巨大素数（英语：Gigantic prime）
• 超大素数（英语：Megaprime）
• 索菲·热尔曼素数

参考资料

1. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^136,279,841-1. Mersenne Research, Inc. 21 October 2024 [21 October 2024].
2. Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. （原始内容存档于2021-03-12）.
3. Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. （原始内容存档于2013-08-19）.
4. 最后一个非梅森素数为391,581 ⋅ 2^216,193 − 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）；参见The Largest Known Prime by Year: A Brief History （页面存档备份，存于互联网档案馆），Caldwell着
5. Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. （原始内容存档于2020-08-03）. An interesting side note is about the binary representations of those numbers...
6. List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet. www.mersenne.org. "41024320" link is to a zip file with the digits. [2024-10-21].
7. Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 电子前哨基金会. 2009-10-14 [2011-11-26]. （原始内容存档于2011-08-05）.
8. Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
9. Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime. Time (时代公司). 2008-10-29 [2012-01-17]. （原始内容存档于2013-08-22）.
10. C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. （原始内容存档于2020-08-04）.
11. J. Miller（英语：J. C. P. Miller）, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
12. Letters to the Editor （页面存档备份，存于互联网档案馆）. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
13. Proof-code: Z （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Prime Pages（英语：Prime Pages）.
14. The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page. primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. [2017-09-30]. （原始内容存档于2021-02-27）.
15. The Top Twenty: Largest Known Primes. Chris K. Caldwell. [2018-01-03]. （原始内容存档于2021-02-25）.
16. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 21 December 2018 [21 December 2018].
17. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. [2018-01-03]. （原始内容存档于2018-01-03）.
18. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. [2017-09-29]. （原始内容存档于2018-01-07）.
19. GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2013-02-05 [2017-09-29]. （原始内容存档于2021-01-26）.
20. GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2^43,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2008-09-15 [2017-09-29]. （原始内容存档于2011-06-03）.
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22. PrimePage Primes: Phi(3, - 516693^1048576). t5k.org.
23. PrimePage Primes: Phi(3, - 465859^1048576). t5k.org.
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25. PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2017-09-30]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-15）.
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27. 4 × 5^11786358 + 1. t5k.org. PrimePages. 1 October 2024 [5 October 2024].
28. GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2^25,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2005-02-27 [2017-09-29]. （原始内容存档于2021-03-14）.
29. 69 × 2^24612729 − 1. t5k.org. PrimePages. 13 August 2024 [29 August 2024].
30. GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2^24,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2004-05-28 [2017-09-29]. （原始内容存档于2021-01-29）.
31. 107347 × 2^23427517 − 1. t5k.org. PrimePages. 4 August 2024 [25 August 2024].
32. PrimeGrid's 321 Prime Search (PDF). primegrid.com.
33. PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search (PDF). primegrid.com. PrimeGrid. [7 October 2022].

外部链接

• Press release about the largest known prime 2^82,589,933−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Press release about the former largest known prime 2^77,232,917−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Press release about the former largest known prime 2^74,207,281−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）