索菲·热尔曼质数

若质数${\displaystyle p}$为索菲·热尔曼质数，则${\displaystyle 2p+1}$亦为质数。与索菲·热尔曼质数p相联系之质数${\displaystyle 2p+1}$则称之为安全素数。举例来说，29为一索菲·热尔曼质数，2×29+1=59则为其对应的安全质数。索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若${\displaystyle x,y,z}$均为整数，在${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$这式子内，必有一项能被${\displaystyle 2p+1}$整除。

是否存在无限个索菲热尔曼质数仍属猜想。

从1到10000共有190个索菲热尔曼质数（OEIS数列A005384）：

2	3	5	11	23	29	41	53	83	89	113	131
173	179	191	233	239	251	281	293	359	419	431	443
491	509	593	641	653	659	683	719	743	761	809	911
953	1013	1019	1031	1049	1103	1223	1229	1289	1409	1439	1451
1481	1499	1511	1559	1583	1601	1733	1811	1889	1901	1931	1973
2003	2039	2063	2069	2129	2141	2273	2339	2351	2393	2399	2459
2543	2549	2693	2699	2741	2753	2819	2903	2939	2963	2969	3023
3299	3329	3359	3389	3413	3449	3491	3539	3593	3623	3761	3779
3803	3821	3851	3863	3911	4019	4073	4211	4271	4349	4373	4391
4409	4481	4733	4793	4871	4919	4943	5003	5039	5051	5081	5171
5231	5279	5303	5333	5399	5441	5501	5639	5711	5741	5849	5903
6053	6101	6113	6131	6173	6263	6269	6323	6329	6449	6491	6521
6551	6563	6581	6761	6899	6983	7043	7079	7103	7121	7151	7193
7211	7349	7433	7541	7643	7649	7691	7823	7841	7883	7901	8069
8093	8111	8243	8273	8513	8663	8693	8741	8951	8969	9029	9059
9221	9293	9371	9419	9473	9479	9539	9629	9689	9791

已发现的最大的索菲·热尔曼质数

PrimeGrid计划（英语：PrimeGrid）于2016年3月发现了截至目前为止最大的索菲·热尔曼质数，2618163402417×2^1290000 − 1，此数共有388342位。^[1]

特性

索菲热尔曼质数永不会以7为个位数。证明：

反证法：假设存在个位数为7的质数p，将它表达成p=10k+7。根据索菲热尔曼质数的性质，${\displaystyle 2p+1}$亦是质数，但${\displaystyle 2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)}$，${\displaystyle 2p+1}$能被5整除，而且大于5，所以，是合成数，矛盾。

和梅森数的关系

若${\displaystyle p>3}$，${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$，且p为索菲热尔曼质数，2p+1是梅森数${\displaystyle M_{p}}$的因数。

出现频率

1922年，哈代和李特尔伍德，猜测了以下估计索菲热尔曼质数频率的公式：

${\displaystyle {2Cx \over \ln ^{2}(x)}}$

且${\displaystyle C\approx 0.6601618158}$，C是孪生质数常数。

坎宁安链

数列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非热尔曼质数称为第一类坎宁安链。除了首尾之外，这个数列中的项均同时为索非热尔曼质数和安全质数。

参考

• http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. The Prime Database: 2618163402417×2^1290000 - 1. [2016-06-07]. （原始内容存档于2021-04-23）.