卡伦数

卡伦数是形式如${\displaystyle n\times 2^{n}+1}$（写作${\displaystyle C_{n}}$）的自然数。

若质数${\displaystyle p=8k-3=2n-1}$，${\displaystyle C_{n}}$能被${\displaystyle p}$整除。根据费马小定理，若p是奇质数，${\displaystyle p}$能整除${\displaystyle C_{m(k)}}$对于${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ (对于${\displaystyle k>0}$)。

广义卡伦数有时定义为${\displaystyle n\times b^{n}+1}$而且${\displaystyle n+2>b}$。胡道尔数有时称为第二种卡伦数。

历史和卡伦质数

1905年，詹姆士·卡伦首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核实${\displaystyle C_{141}}$是质数，且证明了若${\displaystyle n\leq 1000}$，除了${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{141}}$之外，${\displaystyle C_{n}}$均为合成数。

1984年Wilfrid Cellar又类似地核实了${\displaystyle C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}}$ 和以上提到的卡伦质数之外，${\displaystyle n\leq 30000}$的${\displaystyle C_{n}}$均为合成数。

截止2009年4月，已知的卡伦质数有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡伦质数已被找到。可是，“存在无限个卡伦质数”这问题仍属猜想。

是否存在质数${\displaystyle p}$使得${\displaystyle C_{p}}$为质数同样为疑问。

参考

• Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.