自守形式

数学上所谓的自守形式（英语：Automorphic form），是一类特别的复变数函数，并在某个离散变换群下满足由自守因子描述之变换规律。模形式与马斯形式是其特例。由自守形式可定义自守表示，严格言之，自守表示并非寻常意义下的群表示，而是整体赫克代数上的模。

庞加莱在1880年代曾研究过自守形式，他称之为富克斯函数。郎兰兹纲领探讨自守表示与数论的深入联系。

古典定义

设 ${\displaystyle \Gamma }$ 为作用于复区域 ${\displaystyle D}$ 的离散群。取定自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)}$ 及权 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$。相应的权 ${\displaystyle m}$ 自守形式是 ${\displaystyle D}$ 上满足下述函数方程的全纯函数

${\displaystyle j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma }$。

自守因子 ${\displaystyle j_{\gamma }(x)}$ 当 ${\displaystyle \gamma }$ 固定时是 ${\displaystyle D}$ 上的全纯函数，并且是 ${\displaystyle \Gamma }$ 上的 1-闭上链。

定义中的复值函数 ${\displaystyle f}$ 可推广成取值为矩阵的函数；权 ${\displaystyle m}$ 的限制亦可放松，例如半整数 ${\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$。

群上的定义

自守形式另有群表示理论的诠释，并牵涉数论，但无法完全涵摄古典定义。为简单起见，以下设 ${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)}$，其中心可等同于 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$。

考虑整体域 ${\displaystyle F}$（例如 ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$），由此定义 ${\displaystyle G}$ 的阿代尔点 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$，赋予相应的拓扑结构，并取定标准的紧子群 ${\displaystyle K}$。

固定一拟特征 ${\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$。以 ${\displaystyle \omega }$为中心特征的自守形式定为 ${\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})}$ 上满足下列条件的复值函数 ${\displaystyle f}$：

1. ${\displaystyle f}$ 光滑：若 ${\displaystyle F}$ 为函数域，这代表 ${\displaystyle f}$ 是局部常数函数。否则意谓存在一组 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ 的开覆盖 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$，对每个 ${\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}}$，${\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })}$，而 ${\displaystyle f_{U}}$ 无穷可微。
2. 对任何${\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}}$ 及任何 ${\displaystyle h}$，总有 ${\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)}$。
3. ${\displaystyle f}$ 右 ${\displaystyle K}$-有限：函数 ${\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)}$ 张成有限维向量空间。
4. 承上，设 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$ 为泛包络代数 ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))}$ 之中心，则 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}}$-有限。
5. 缓增性：固定适当的高度函数 ${\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}}$（取法不影响定义），存在常数 ${\displaystyle C}$ 及 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ 使得 ${\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}}$。

注记. 若 ${\displaystyle v}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的阿基米德赋值，条件二中张出的空间在李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})}$ 的作用 ${\displaystyle f\mapsto Xf}$ 下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数。

若对所有 ${\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)}$ 皆有

${\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0}$

则称 ${\displaystyle f}$ 为尖点形式。

自守表示

定义 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 为中心特征为 ${\displaystyle \omega }$ 的自守形式集，子空间 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })}$ 的表示；对阿基米德赋值则带有 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)}$-模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$ 的表示。注意：它们并非 ${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$ 的表示！

一个自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}}$-模 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 之子商，${\displaystyle \omega }$ 称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )}$ 之子空间。

参考文献

• A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .
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