奇函数与偶函数

在数学里，偶函数（英语：Even functions）和奇函数（英语：Odd functions）是满足着相对于加法逆元之特定对称关系的函数。这在数学分析的许多领域中都很重要，特别是在幂级数和傅里叶级数的理论里。其命名是因为幂函数的幂的奇偶性满足下列条件：若n为一偶数，则函数${\displaystyle x^{n}}$是偶函数，若${\displaystyle n}$为一奇数，则为奇函数。

偶函数

f(x) = x²，偶函数的一个例子

设f(x)为一实变数实值函数，则${\displaystyle f}$为偶函数若下列的方程对所有在${\displaystyle f}$的定义域内的${\displaystyle x}$都成立：^[1]

${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

几何上，一个偶函数会关于y轴对称，亦即其图像在对y轴为轴对称后不会改变。

偶函数的例子有|x|、x²、x⁴、cos(x)和cosh(x)。

偶函数不可能是个双射映射。

奇函数

f(x) = x，奇函数的一个例子

再次地，设${\displaystyle f(x)}$为一个实变数实值函数，则${\displaystyle f}$为奇函数若下列的方程对所有在f的定义域内的${\displaystyle x}$都成立：^[2]

${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$ 或 ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。

奇函数的例子有${\displaystyle x}$、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。

基本特性

注意：一个函数为奇函数或偶函数不表示其为可微的，或即使为连续的。其包含在傅里叶级数、泰勒级数、导数等之性质都只在假设其存在时才被使用。

• 唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有${\displaystyle x}$，${\displaystyle f(x)=0}$)。
• 通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如${\displaystyle x+x^{2}}$。
• 两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。（偶+偶=偶 n×偶=偶）
• 两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。（奇+奇=奇 n×奇=奇）
• 两个偶函数的乘积为一个偶函数。（偶×偶=偶）
• 两个奇函数的乘积为一个偶函数。（奇×奇=偶）
• 一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。（偶×奇=奇）
• 两个偶函数的商（除数不得为0）为一个偶函数。（偶÷偶=偶）
• 两个奇函数的商（除数不得为0）为一个偶函数。(奇÷奇=偶)
• 一个偶函数和一个奇函数的商（除数不得为0）为一个奇函数。（偶÷奇=奇 奇÷偶=奇）
• 一个偶函数的导数为一个奇函数。（偶'=奇）
• 一个奇函数的导数为一个偶函数。（奇'=偶）
• 两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。[奇(奇)=奇 偶(偶)=偶]
• 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数。[偶(奇)=偶 奇(偶)=偶]

级数

• 一个偶函数的麦克劳伦级数只包括偶数幂。
• 一个奇函数的麦克劳伦级数只包括奇数幂。
• 一个周期偶函数的傅里叶级数只包括cos项。
• 一个周期奇函数的傅里叶级数只包括sin项。

代数结构

• 偶函数的任何线性组合皆为偶函数，且偶函数会形成一个实数上的向量空间。相似地，奇函数的任何线性组合皆为奇函数，且奇函数亦会形成一个实数上的向量空间。实际上，“所有”实值函数之向量空间为偶函数和奇函数之子空间的直和。换句话说，每个定义域关于原点对称的函数都可以被唯一地写成一个偶函数和一个奇函数的相加：$${\displaystyle f(x)=f_{\mathrm {even} }(x)+f_{\mathrm {odd} }(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\,+\,{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$$

• 偶函数会形成一个实数上的可交换代数，但奇函数则不会形成任何一个在实数上的代数。

谐波

在信号处理里，谐波失真会产生于当一个正弦波信号被一非线性传递函数放大的时候。其谐波的类型会因传递函数的不同而不同：^[3][4]

• 当传递函数为偶函数，其输出信号会只包括输入正弦波的偶谐波；${\displaystyle 2f,4f,6f,\dots }$
  • 其基频亦为一个奇谐波，故将不会出现在输出信号里。
  • 一个简单的例子为全波整流器。
• 当传递函数为奇函数时，其输出信号会只包括输入正弦波的奇谐波；${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • 其输出信号将会有半波对称。
  • 一个简单的例子为在一个对称推挽式放大器内的截波。
• 当传递函数为不对称时，其输出信号会包括偶谐波或奇谐波；${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • 一个简单的例子为在一个不对称A类放大器内的截波。

参考文献

引用

1. Gelfand 2002, p. 11
2. Gelfand 2002, p. 72
3. Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics. [2006-12-25]. （原始内容存档于2018-01-01）.
4. Berners, Dave. Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics. UA WebZine. Universal Audio. October 2005 [2016-09-22]. （原始内容存档于2018-01-01）. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.

来源

书籍

• Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. Functions and Graphs. Mineola, NY: Dover Publications. 2002 [1969]. （原始内容存档于2016-09-21）.

参见

• 数学主题

• 埃尔米特函数：在复数上的推广
• 泰勒级数
• 傅里叶级数