幂函数

一般地，函数${\displaystyle f(x)=x^{a}}$叫做幂函数（英语：Power function），其中${\displaystyle x}$是自变量，${\displaystyle a}$是常数。

幂函数图像

幂函数与指数函数的区别是，幂函数的自变量是底数（英语：base），指数函数的自变量是指数（英语：exponent, power）

自然数幂

自然数幂函数${\displaystyle x^{n}}$的定义为自变量自乘${\displaystyle n}$次，如

${\displaystyle x^{3}\equiv x\times x\times x}$

有理数幂

形如

${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{n}}}$

的幂函数定义为

${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

的多值反函数。但实际上，我们还是只取主值。

无理数幂

无理数幂可以使用两个有理数幂的商逼近得到。

复数幂

扩大的幂函数定义为

${\displaystyle x^{a}\equiv e^{a\cdot \ln x}}$

如果${\displaystyle a}$不是整数，则幂函数是一个多值函数。

幂函数图像

上至下：${\displaystyle x^{\frac {1}{8}}}$，${\displaystyle x^{\frac {1}{4}}}$，${\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}$，${\displaystyle x^{1}}$，${\displaystyle x^{2}}$，${\displaystyle x^{4}}$，${\displaystyle x^{8}}$