塞尔伯格迹公式

在数学中，塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间 ${\displaystyle G/\Gamma }$ 的函数空间上某类算子的迹数，其中 ${\displaystyle G}$ 是李群而 ${\displaystyle \Gamma }$ 是其离散子群。

塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格ζ函数。此时的公式相似于解析数论关注的“明确公式”：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。

一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。

定义

设 ${\displaystyle X}$ 为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 对 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ 的某离散子群 ${\displaystyle \Gamma }$ 的商。

${\displaystyle X\ =\ \Gamma \backslash \mathbb {H} }$

考虑 ${\displaystyle X}$ 上的拉普拉斯算子

${\displaystyle \Delta \ u(x,y)\ =\ y^{2}\left(\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\,\right)u(x,y)}$

由于 ${\displaystyle X}$ 为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征值 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\ldots }$ 至多可数

${\displaystyle -\ \Delta \ u_{n}(x,y)\ =\ \lambda _{n}\ u_{n}(x,y)}$

事实上，更可将其由小至大排列：

${\displaystyle 0=\lambda _{0}<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots }$

对应的特征函数 ${\displaystyle u_{n}(x,y)\in C^{\infty }(\mathbb {H} )}$，并满足以下周期条件： ${\displaystyle \forall \ \gamma \ \in \ \Gamma \ ,\quad u_{n}(\gamma z)\ =\ u_{n}(z)}$

行变元代换 ${\displaystyle \lambda _{n}\ =\ s_{n}(1-s_{n})\ ,\quad s_{n}\ =\ {\frac {1}{2}}\ +\ i\,r_{n}}$

于是特征值可依 ${\displaystyle r_{n},\quad n\ \geq \ 0}$ 排列。

迹公式

塞尔伯格迹公式写作

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (F)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\,\tanh(\pi r)\,dr\ +\ \sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{1/2}-N(T)^{-1/2}}}\ g(\log N(T))}$

和式中的 ${\displaystyle \{T\}}$ 取遍所有双曲共轭类。所取函数 ${\displaystyle h}$ 须满足下述性质：

• 在带状区域 ${\displaystyle \vert \Im \mathrm {m} (r)\vert \leq 1/2+\delta }$ 上为解析函数，在此 ${\displaystyle \delta >0}$ 为某常数。
• 偶性：${\displaystyle h(-r)=h(r)}$。
• 满足估计：${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\ \left(1+\vert \Re \mathrm {e} (r)\vert ^{-2-\delta }\ \right)}$，在此 ${\displaystyle M>0}$ 为某常数。

函数 ${\displaystyle g}$ 是 ${\displaystyle h}$ 的傅里叶变换：

${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)\ e^{iru}\ du}$。

后续发展

为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后，${\displaystyle X=\Gamma \backslash \mathbb {H} }$ 为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取 ${\displaystyle \Gamma }$ 为算术子群，便不免要处理非紧的情形。

在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的 Harish-Chandra（हरीश चन्द्र）、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。

亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。

文献

• 叶扬波《模形式与迹公式》，北京大学出版社，2001年。 ISBN 7-301-04586-7
• A. Selberg, Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces With Applications to Dirichlet Series, Journal of the Indian Mathematical Society 20 (1956) 47-87.
• H.P. McKean, Selberg's Trace Formula as Applied to a Compact Riemannian Surface, Communications in Pure and Applied Mathematics 25 (1972) 225-246. 勘误见 : Communications in Pure and Applied Mathematics 27 (1974) p.134
• D. Hejhal, The Selberg Trace Formula and the Riemann Zeta Function, Duke Mathematics Journal 43 (1976) 441-482
• D. Hejhal, The Selberg Trace Formula For PSL(2,R), Volume I, Springer Lecture Notes 548 (1976), ISBN .
• A.B. Venkov, Spectral Theory of Automorphic Functions, the Selberg Zeta Function, and Some Problems of Analytic Number Theory and Mathematical Physics, Russian Mathematical Surveys 34 (1979) 79-153.
• P. Cartier and A. Voros, Une Nouvelle Interprétation de la formule des traces de Selberg, dans The Grothendieck Festschrift, volume 87 of Progress in Mathematics, Birkhäuser (1990) 1-67.
• （英文） Matthew R. Watkins, Selberg trace formula and zeta functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）