约化群

在数学中，约化群是幂单根为平凡群的代数群。代数环面与半单代数群都是约化群，一般线性群${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$亦然。

“约化”一词源于下述事实：零特征域上的约化群的线性表示都是完全可约的。

约化李群

对于李群${\displaystyle G}$，以下陈述等价

1. ${\displaystyle G}$是某个${\displaystyle \mathbb {R} }$-约化群的覆叠空间（带有相应的李群结构）。
2. 其李代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$同构于某个${\displaystyle \mathbb {R} }$-约化群的李代数。
3. 其李代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$可写成一个半单李代数与一个交换李代数的直和。
4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus Z({\mathfrak {g}})}$

满足以上任一条件的李群称为约化李群，有时我们也会加上条件${\displaystyle (G:G^{0})<\infty }$。

若一李代数满足条件二至四，称之为约化李代数，这相当于说该李代数的伴随表示是完全可约的。但这并不保证所有有限维线性表示都完全可约。

条件一可以延伸到任意局部域上的情形。

分类

约化群可以由根资料分类。利用概形语言，可将约化群的定义延伸到任意基概形${\displaystyle S}$上，并导出类似的分类定理。

参见

• 根资料

文献

• Armand Borel. Linear Algebraic Groups（2nd ed.）. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
• A. Borel, J. Tits, Groupes réductifs （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 27 (1965) pp. 55–150; Compléments à l'article «Groupes réductifs». （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p. 253-276
• François Bruhat; Tits, Jacques Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p. 5-251 II. Schémas en groupes. Existence d'une donnée radicielle valuée. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 60 (1984), p. 5-184
• V.L. Popov, Reductive group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• A.L. Onishchik, Lie algebra, reductive, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• T. A. Springer, Reductive groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ISBN 0-8218-3347-2