地平坐标系 （英语 ：Horizontal coordinate system），是天球坐标系统 中的一种，以观测者所在地为中心点，所在地的地平线 作为基础平面 ，将天球适当的分成能看见的上半球 和看不见（被地球本身遮蔽）的下半球。上半球的顶点（最高点）称为天顶 ，下半球的顶点（最低点）称为地底 。
地平坐标系：方位角 可分为由北点开始向东方顺时钟方向所定义的北方位角(如图中所示两条蓝线夹角)，或是从南点向西方顺时钟方向所定义的南方位角(如图中红色弧线所示夹角)，高度角 为星体与地平面的夹角（绿色弧线夹角） 地平坐标系统由两个夹角来定义一个天体位置的极座标：
高度角（Altitude, Alt）或仰角又称地平纬度 ，是天体和观测者所在地的地平线的夹角。
方位角 （Azimuth, Az）又称地平经度，是沿着地平线测量的角度. 一般文献指称的方位角是以正北方为0度起点, 顺时钟向东方测量. 但对于某些观星者或航海家而言, 定义以南方为0度起点的方向角, 有其方便性. 因此以下将以
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
因此地平坐标系 有时也被称为高度/方位（Alt/Az）坐标系统 。
地平坐标系统是固定在地球上而不是恒星，所以天体出现在天球上的高度和方位会随着时间，在天球上不停的改变。另一方面，因为基础平面是观测者所在地的地平面，所以相同的天体在相同的时间从不同的位置观察，也会有不同的高度和方位。
地平坐标系在测量天体的出没上非常的好用，当一个天体的高度为0°，就表示他位于地平线上。此时若其高度增加，就代表上升；若高度减少，便是下降。然而天球上所有天体的运动都受到由西向东的周日运动 支配，所以与其笨拙的去观察高度是增加或减少，不如改为观察天体的方位更容易来判断是上升或是下降：
当天体的方位在0°～180°之间（北方—东方—南方，亦即子午线 之东）是上升。
当天体的方位在180°～360°之间（南方—西方—北方，亦即子午线之西）是下降。 但在下面的特殊位置则例外：
在北极点，因为天顶就是北天极，所有的方向都是南方，所以无法定出方位，但这并不造成问题，因为所有天体的高度无论任何时间都不会改变，即既不升高也不降低，只绕北极星以逆时针 转动。（头朝下感觉天星是顺时针转，抬头望天，才看见天星逆时针转）
在南极，地面上所有方向都是北方，也会有与北极相同情况，只是所有星星皆绕天顶的南天极顺时针 转动。
在赤道，位于极点的天体会固定不动的永远停留在地平线上的那一个点。（但实际上由于天极很接近地平线，在该处天体未必能直接看到） 需要注意的是：前面所考虑的只是理论上的几何地平 ，即不考虑地球大气层对天体位置的影响，让观测者的地平线完全以理想的海平面构成。因为地球有弧度，实际上看见的视地平面 会随着观测者的高度增加而降低（出现负值）。另一方面大气层也会将地平线下半度的天体折射到地平线上。
只要知道观测者的地理坐标与时间，就可以将地平坐标转换成赤道坐标，或是反过来将赤道坐标转换成地平坐标。
在以下公式中，以
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
以
α
{\displaystyle \alpha }
赤经 ，
δ
{\displaystyle \delta }
赤纬 ，
H
{\displaystyle H}
时角 。
φ为观测者所在地的纬度 。
不管赤纬或地理纬度, 都是以北极点为+90°，在赤道是0°，南极点是-90°。
在地平座标转换前一般会先计算天体的本地时角 (Local Hour Angle, LHA) (或称地方时角)。天体的本地时角
H
{\displaystyle H}
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
α
{\displaystyle \alpha }
H
≡
α
L
−
α
{\displaystyle H\equiv \alpha _{L}-\alpha }
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
恒星时 (Local Sidereal Time, LST,
L
S
T
≡
α
L
{\displaystyle LST\equiv \alpha _{L}}
恒星日 , 南方子午线上会陆续通过赤经为
0
h
,
1
h
,
.
.
.
,
α
h
{\displaystyle 0^{h},1^{h},...,\alpha ^{h}}
α
L
h
{\displaystyle \alpha _{L}^{h}}
24
h
(
≡
0
h
)
{\displaystyle 24^{h}(\equiv 0^{h})}
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
L
S
T
{\displaystyle LST}
α
0
=
0
h
{\displaystyle \alpha _{0}=0^{h}}
t
{\displaystyle t}
λ
{\displaystyle \lambda }
α
L
=
α
L
(
t
,
λ
)
{\displaystyle \alpha _{L}=\alpha _{L}(t,\lambda )}
α
{\displaystyle \alpha }
t
,
λ
{\displaystyle t,\lambda }
H
{\displaystyle H}
H
(
α
,
t
,
λ
)
{\displaystyle H(\alpha ,t,\lambda )}
H
(
α
)
{\displaystyle H(\alpha )}
H
(
α
,
t
,
λ
)
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
α
≡
α
L
−
α
L
S
T
(
j
d
,
λ
)
=
G
S
T
(
j
d
)
+
λ
≡
α
L
(
j
d
,
λ
)
G
S
T
(
j
d
)
=
241.3872
+
360.9856091
×
(
j
d
−
2440000.5
)
≡
L
S
T
(
j
d
,
0
∘
)
G
H
A
(
α
,
t
)
≡
H
(
α
,
t
,
0
∘
)
=
G
S
T
(
t
)
−
α
H
(
α
,
t
,
λ
)
=
G
H
A
(
α
,
t
)
+
λ
=
G
S
T
(
t
)
+
λ
−
α
{\displaystyle {\begin{aligned}H(\alpha ,t,\lambda )&=LST(t,\lambda )-\alpha &&\equiv \alpha _{L}-\alpha \\LST(jd,\lambda )&=GST(jd)+\lambda &&\equiv \alpha _{L}(jd,\lambda )\\GST(jd)&=241.3872+360.9856091\times (jd-2440000.5)&&\equiv LST(jd,0^{\circ })\\GHA(\alpha ,t)&\equiv H(\alpha ,t,0^{\circ })&&=GST(t)-\alpha \\H(\alpha ,t,\lambda )&=GHA(\alpha ,t)+\lambda &&=GST(t)+\lambda -\alpha \end{aligned}}}
如上所示, LST 可由 GST 加计本地地理经度求得. 其中, GST 为格林威治 恒星时, 亦即 0 度经线上之观测站的 LST. 上述公式中,
θ
0
=
{\displaystyle \theta _{0}=}
历元
T
0
=
{\displaystyle T_{0}=}
儒略日 , Julian Date) (相当于1968/5/24.0) 时, 经过格林威治本初子午线 的遥远恒星的赤经.
R
0
=
{\displaystyle R_{0}=}
平太阳日 ) 之内地球转动的度数. 乘以
t
{\displaystyle t}
T
0
{\displaystyle T_{0}}
t
{\displaystyle t}
一般导航用的天文年鉴或历书 (almanac), 并无法把主要天文导航天体(如太阳, 月亮, 行星, 及约 57 颗导航用亮星), 在所有城市的本地时角, 都刊印出来, 仅能打印他们在格林威治所观测到的天体时角, 即格林威治时角 (Greenwich Hour Angle, GHA), 再由领航员从
L
H
A
=
G
H
A
+
λ
{\displaystyle LHA=GHA+\lambda }
L
H
A
{\displaystyle LHA}
单位与惯例: 上列公式中的经度
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
E
{\displaystyle \lambda _{E}}
λ
W
{\displaystyle \lambda _{W}}
λ
W
=
−
λ
E
{\displaystyle \lambda _{W}=-\lambda _{E}}
λ
≡
λ
E
{\displaystyle \lambda \equiv \lambda _{E}}
360
∘
≡
2
π
rad
≡
24
h
{\displaystyle 360^{\circ }\equiv 2\pi {\text{ rad}}\equiv 24^{h}}
此外, 对同一观测目标 (
α
{\displaystyle \alpha }
λ
{\displaystyle \lambda }
G
S
T
(
j
d
)
=
θ
0
+
R
0
×
(
j
d
−
T
0
)
=
L
S
T
(
j
d
,
λ
)
−
λ
=
H
(
α
,
t
,
λ
)
−
α
−
λ
Δ
S
T
≜
G
S
T
(
j
d
1
)
−
G
S
T
(
j
d
0
)
=
L
S
T
(
j
d
1
,
λ
)
−
L
S
T
(
j
d
0
,
λ
)
=
H
(
α
,
j
d
1
,
λ
)
−
H
(
α
,
j
d
0
,
λ
)
≜
Δ
H
Δ
S
T
=
R
0
×
(
j
d
1
−
j
d
0
)
=
Δ
t
×
R
0
=
Δ
H
Δ
t
≜
j
d
1
−
j
d
0
=
Δ
S
T
/
R
0
=
Δ
H
/
R
0
j
d
1
=
j
d
0
+
Δ
S
T
/
R
0
=
j
d
0
+
Δ
H
/
R
0
{\displaystyle {\begin{aligned}GST(jd)&=\theta _{0}+R_{0}\times (jd-T_{0})&&=LST(jd,\lambda )-\lambda &&=H(\alpha ,t,\lambda )-\alpha -\lambda \\\Delta ST&\triangleq GST(jd1)-GST(jd0)&&=LST(jd1,\lambda )-LST(jd0,\lambda )\\&=H(\alpha ,jd1,\lambda )-H(\alpha ,jd0,\lambda )&&\triangleq \Delta H\\\Delta ST&=R_{0}\times (jd1-jd0)&&=\Delta t\times R_{0}&&=\Delta H\\\Delta t&\triangleq jd1-jd0&&=\Delta ST/R_{0}&&=\Delta H/R_{0}\\jd1&=jd0+\Delta ST/R_{0}&&=jd0+\Delta H/R_{0}\\\end{aligned}}}
也就时说, 在同一观测地, 恒星时差(
Δ
S
T
{\displaystyle \Delta ST}
Δ
H
{\displaystyle \Delta H}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
太阳时 ), 就必须多除以
R
0
{\displaystyle R_{0}}
R
0
≈
(
365.25
+
1
)
/
365.25
×
360
o
{\displaystyle R_{0}\approx (365.25+1)/365.25\times 360^{o}}
t ) 的计算问题上 (如日出 时刻、日落 时刻、星体中天 时刻、曙暮光 始末时刻、日照 时间或白天长度)
[ 1]
Δ
S
T
=
360
0
{\displaystyle \Delta ST=360^{0}}
Δ
t
=
23
h
56
m
4.09
s
{\displaystyle \Delta t=23^{h}56^{m}4.09^{s}}
赤道坐标转为地平坐标时, 可以透过以下的关系, 由天体的赤经 (
α
{\displaystyle \alpha }
δ
{\displaystyle \delta }
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
Z
h
=
sin
a
=
sin
ϕ
⋅
sin
δ
+
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
X
h
=
cos
A
⋅
cos
a
=
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
Y
h
=
sin
A
⋅
cos
a
=
cos
δ
⋅
sin
H
{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{h}&=\sin a&&=\sin \phi \cdot \sin \delta +\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H\\X_{h}&=\cos A\cdot \cos a&&=-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H\\Y_{h}&=\sin A\cdot \cos a&&=\cos \delta \cdot \sin H\\\end{aligned}}}
根据以上关系式,
a
=
a
r
c
s
i
n
(
Z
h
)
{\displaystyle a=arcsin(Z_{h})}
A
{\displaystyle A}
X
h
,
Y
h
{\displaystyle X_{h},Y_{h}}
有种方式是把
Y
h
,
X
h
{\displaystyle Y_{h},X_{h}}
cos
a
{\displaystyle \cos a}
tan
A
=
Y
h
/
X
h
{\displaystyle \tan A=Y_{h}/X_{h}}
arctan
(
Y
h
/
X
h
)
{\displaystyle \arctan(Y_{h}/X_{h})}
A
{\displaystyle A}
arctan
(
Y
h
/
X
h
)
{\displaystyle \arctan(Y_{h}/X_{h})}
反正切 函数的值域只在[-90, 90] 度之间, 无法完整涵盖 [0, 360] (或 [-180,+180]) 度的方位角. 而在 0 到 360 (或 [-180,+180]) 度之间,
tan
{\displaystyle \tan }
tan
A
=
tan
(
A
∓
180
)
=
Y
h
/
X
h
{\displaystyle \tan A=\tan(A\mp 180)=Y_{h}/X_{h}}
正切 值相同。因此, 必须根据
X
h
{\displaystyle X_{h}}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
arctan
(
Y
/
X
)
{\displaystyle \arctan(Y/X)}
A
{\displaystyle A}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
tan
A
=
cos
δ
⋅
sin
H
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
=
Y
h
X
h
=
sin
H
−
cos
ϕ
⋅
tan
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
H
A
0
≜
arctan
Y
h
X
h
∈
[
−
90
,
90
]
A
=
{
A
0
X
h
>
0
∈
[
−
90
,
90
]
A
0
+
180
∘
Y
h
≥
0
,
X
h
<
0
∈
[
90
,
180
]
A
0
−
180
∘
Y
h
<
0
,
X
h
<
0
∈
[
−
90
,
−
180
]
+
90
∘
Y
h
>
0
,
X
h
=
0
−
90
∘
Y
h
<
0
,
X
h
=
0
undefined
Y
h
=
0
,
X
h
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A&={\frac {\cos \delta \cdot \sin H}{-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}}&&={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}\\&={\frac {\sin H}{-\cos \phi \cdot \tan \delta +\sin \phi \cdot \cos H}}\\A_{0}&\triangleq \arctan {\frac {Y_{h}}{X_{h}}}&&\in [-90,90]\\A&={\begin{cases}A_{0}&\qquad X_{h}>0&\in [-90,90]\\A_{0}+180^{\circ }&\qquad Y_{h}\geq 0,X_{h}<0&\in [90,180]\\A_{0}-180^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}<0&\in [-90,-180]\\+90^{\circ }&\qquad Y_{h}>0,X_{h}=0\\-90^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}=0\\{\text{undefined}}&\qquad Y_{h}=0,X_{h}=0\end{cases}}\end{aligned}}}
其实不少编程语言(如 C, C++, Java, Python) 都有提供一个叫做 ATAN2(Y,X) (或 ATAN2(X,Y)) 的反三角函数 (atan2 是已将象限 纳入考量的反正切 函数), 可算出
arctan
(
Y
/
X
)
{\displaystyle \arctan(Y/X)}
a
{\displaystyle a}
Z
{\displaystyle Z}
a
=
arcsin
(
Z
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z)}
a
{\displaystyle a}
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
需要特别注意的是, 上面计算出来的方位角
A
{\displaystyle A}
(北)方位角 若表示成
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
{\displaystyle A}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
南方位角 , 两者相差正好 180 度, 可以用
A
N
=
A
S
+
180
{\displaystyle A_{N}=A_{S}+180}
南方向角 , 主要是一些北半球的观星者平时观测的星体以南方星体为主. 因此, 以南方为零度方位, 有其方便性.
上列公式并不容易理解其来由, 若移项重新整理, 并刻意以
A
s
{\displaystyle A_{s}}
X
h
=
cos
a
⋅
cos
A
S
=
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
Y
h
=
cos
a
⋅
sin
A
S
=
cos
δ
⋅
sin
H
Z
h
=
sin
a
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{h}&=\cos a\cdot \cos A_{S}&&=\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H-\cos \phi \cdot \sin \delta \\Y_{h}&=\cos a\cdot \sin A_{S}&&=\cos \delta \cdot \sin H\\Z_{h}&=\sin a&&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\sin \phi \cdot \sin \delta \\\end{aligned}}}
其矩阵形式则为:
[
X
h
Y
h
Z
h
]
=
[
cos
a
⋅
cos
A
S
cos
a
⋅
sin
A
S
sin
a
]
=
[
sin
ϕ
0
−
cos
ϕ
0
1
0
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{h}\\Y_{h}\\Z_{h}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{S}\\\cos a\cdot \sin A_{S}\\\sin a\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \phi &0&-\cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}}
A
S
=
a
t
a
n
2
(
Y
h
,
X
h
)
{\displaystyle A_{S}=atan2(Y_{h},X_{h})}
a
=
arcsin
(
Z
h
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{h})}
其中, 最右边要被转换的行向量表示赤道极座标
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
H
,
δ
)
{\displaystyle (H,\delta )}
H
=
L
S
T
−
α
{\displaystyle H=LST-\alpha }
(
X
e
,
Y
e
,
Z
e
)
{\displaystyle (X_{e},Y_{e},Z_{e})}
(
A
S
,
a
)
{\displaystyle (A_{S},a)}
(
X
h
,
Y
h
,
Z
h
)
{\displaystyle (X_{h},Y_{h},Z_{h})}
ϕ
{\displaystyle \phi }
旋转矩阵 . 这样的矩阵式说明了原公式的直觉意义, 对于需要时常计算的观星者,航海家或天文计算程式员而言比较不必硬记, 也较不容易弄错.
上列矩阵转换公式, 也让地平座标转赤道座标变得容易. 事实上, 只要把转换对象调换, 并进行逆转换即可. 换句话说, 前式的两个行向量只要互相调换, 并把原来的转换矩阵变成他的逆矩阵 (inverse matrix) 即可得到反向转换公式. 有趣的是, 座标转换的逆矩阵也是他的转置矩阵 (transpose matrix), 也就是行列互换的矩阵, 因此并不需要费力去求原转换矩阵的逆矩阵. 因此, 我们可以轻易得到:
[
X
e
Y
e
Z
e
]
=
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
=
[
sin
ϕ
0
cos
ϕ
0
1
0
−
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
a
⋅
cos
A
S
cos
a
⋅
sin
A
S
sin
a
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{e}\\Y_{e}\\Z_{e}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \phi &0&\cos \phi \\0&1&0\\-\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{S}\\\cos a\cdot \sin A_{S}\\\sin a\\\end{bmatrix}}}
亦即
X
e
=
cos
δ
⋅
cos
H
=
sin
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
S
+
cos
ϕ
⋅
sin
a
Y
e
=
cos
δ
⋅
sin
H
=
cos
a
⋅
sin
A
S
Z
e
=
sin
δ
=
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
S
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{e}&=\cos \delta \cdot \cos H&&=\sin \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{S}+\cos \phi \cdot \sin a\\Y_{e}&=\cos \delta \cdot \sin H&&=\cos a\cdot \sin A_{S}\\Z_{e}&=\sin \delta &&=-\cos \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{S}+\sin \phi \cdot \sin a\\\end{aligned}}}
H
=
a
t
a
n
2
(
Y
e
,
X
e
)
{\displaystyle H=atan2(Y_{e},X_{e})}
α
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
H
(
α
)
{\displaystyle \alpha =LST(t,\lambda )-H(\alpha )}
δ
=
arcsin
(
Z
e
)
{\displaystyle \delta =\arcsin(Z_{e})}
其中,
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
{\displaystyle t}
赤道转地平, 求
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
X
h
{\displaystyle X_{h}}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
X
h
N
=
cos
a
⋅
cos
A
N
=
−
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
cos
ϕ
⋅
sin
δ
=
−
X
h
Y
h
N
=
cos
a
⋅
sin
A
N
=
−
cos
δ
⋅
sin
H
=
−
Y
h
Z
h
N
=
sin
a
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
=
+
Z
h
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{hN}&=\cos a\cdot \cos A_{N}&&=-\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\cos \phi \cdot \sin \delta &&=-X_{h}\\Y_{hN}&=\cos a\cdot \sin A_{N}&&=-\cos \delta \cdot \sin H&&=-Y_{h}\\Z_{hN}&=\sin a&&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\sin \phi \cdot \sin \delta &&=+Z_{h}\\\end{aligned}}}
A
N
=
a
t
a
n
2
(
Y
h
N
,
X
h
N
)
{\displaystyle A_{N}=atan2(Y_{hN},X_{hN})}
a
=
arcsin
(
Z
h
N
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{hN})}
A
N
=
a
t
a
n
2
(
−
Y
h
,
−
X
h
)
{\displaystyle A_{N}=atan2(-Y_{h},-X_{h})}
a
=
arcsin
(
Z
h
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{h})}
tan
A
N
=
Y
h
N
X
h
N
=
−
Y
h
−
X
h
=
Y
h
X
h
=
tan
A
S
=
tan
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A_{N}&={\frac {Y_{hN}}{X_{hN}}}={\frac {-Y_{h}}{-X_{h}}}={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}=\tan A_{S}=\tan A\\\end{aligned}}}
两者相除后，除正负号的区别外，形式完全一样，已无法区分这里的方位角是南方位角或北方位角。且已失去判断象限的讯息，必须由分子分母的正负来辅助判断。这跟之前讨论如何由
tan
A
{\displaystyle \tan A}
tan
A
S
{\displaystyle \tan A_{S}}
A
{\displaystyle A}
有兴趣者可以把他转成矩阵转换式, 会发现这样的转换是经过两道转换手续, 即先转成原先的南地平, 再把 X 轴转 180 度, 也就是 X 值跟 Y 值都取负号.
[
X
h
N
Y
h
N
Z
h
N
]
=
[
cos
a
⋅
cos
A
N
cos
a
⋅
sin
A
N
sin
a
]
=
[
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
1
]
×
[
sin
ϕ
0
−
cos
ϕ
0
1
0
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{hN}\\Y_{hN}\\Z_{hN}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{N}\\\cos a\cdot \sin A_{N}\\\sin a\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\sin \phi &0&-\cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}}
要得到使用
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
=
A
N
−
180
{\displaystyle A_{S}=A_{N}-180}
cos
(
A
S
)
=
cos
(
A
N
−
180
)
=
−
cos
(
A
N
)
{\displaystyle \cos(A_{S})=\cos(A_{N}-180)=-\cos(A_{N})}
sin
(
A
S
)
=
sin
(
A
N
−
180
)
=
−
sin
(
A
N
)
{\displaystyle \sin(A_{S})=\sin(A_{N}-180)=-\sin(A_{N})}
X
e
N
=
cos
δ
⋅
cos
H
=
−
sin
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
N
+
cos
ϕ
⋅
sin
a
=
X
e
Y
e
N
=
cos
δ
⋅
sin
H
=
−
cos
a
⋅
sin
A
N
=
Y
e
Z
e
N
=
sin
δ
=
cos
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
N
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
=
Z
e
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{eN}&=\cos \delta \cdot \cos H&&=-\sin \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{N}+\cos \phi \cdot \sin a&&=X_{e}\\Y_{eN}&=\cos \delta \cdot \sin H&&=-\cos a\cdot \sin A_{N}&&=Y_{e}\\Z_{eN}&=\sin \delta &&=\cos \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{N}+\sin \phi \cdot \sin a&&=Z_{e}\\\end{aligned}}}
H
=
a
t
a
n
2
(
Y
e
N
,
X
e
N
)
{\displaystyle H=atan2(Y_{eN},X_{eN})}
α
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
H
(
α
)
{\displaystyle \alpha =LST(t,\lambda )-H(\alpha )}
δ
=
arcsin
(
Z
e
N
)
{\displaystyle \delta =\arcsin(Z_{eN})}
其中,
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
{\displaystyle t}
(
X
e
N
,
Y
e
N
,
Z
e
N
)
{\displaystyle (X_{eN},Y_{eN},Z_{eN})}
(
X
e
,
Y
e
,
Z
e
)
{\displaystyle (X_{e},Y_{e},Z_{e})}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
比较
(
X
e
N
,
Y
e
N
,
Z
e
N
)
{\displaystyle (X_{eN},Y_{eN},Z_{eN})}
(
X
h
N
,
Y
h
N
,
Z
h
N
)
{\displaystyle (X_{hN},Y_{hN},Z_{hN})}
H
{\displaystyle H}
δ
{\displaystyle \delta }
A
N
{\displaystyle A_{N}}
a
{\displaystyle a}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
赤道座标与地平座标之转换, 牵涉到观测时间
t
{\displaystyle t}
G
S
T
(
t
)
{\displaystyle GST(t)}
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
,
ϕ
{\displaystyle \lambda ,\phi }
α
,
δ
{\displaystyle \alpha ,\delta }
H
(
α
,
t
,
λ
)
,
δ
)
{\displaystyle H(\alpha ,t,\lambda ),\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
天文导航 (celestial navigation) 等方面, 应用极为广泛. 举例而言:
天体位置追踪: 由观测时地
t
,
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle t,(\lambda ,\phi )}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
标定天体的方位及高度, 以规划适当的观测场地, 设置观测仪器, 进行观测活动.
太阳位置追踪及太阳能 应用:
将地面或太空船上的太阳光电 模组、太阳热能模组对准阳光方向, 以获得最大日照强度 及能量.
日蚀 时, 由太阳及月球相对方位及高度绘制模拟过程. 提供太阳能设备特殊处理所需的位置资讯. 事件时程预测: 由观测地位置
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\lambda ,\phi )}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
t
{\displaystyle t}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
可由
Z
h
(
≡
Z
h
N
)
{\displaystyle Z_{h}(\equiv Z_{hN})}
H
{\displaystyle H}
G
S
T
{\displaystyle GST}
Z
e
{\displaystyle Z_{e}}
(
Z
e
N
)
{\displaystyle (Z_{eN})}
星起 (rise)、星落 (set)、中天 (transit)时刻、可观测时间(duration).曙光 开始及暮光 终止(twilight)时间: 决定最佳观测或活动时间窗口.太阳活动(日出日落)时间 及太阳能 应用:
计算日出 (sunrise)、日落 (sunset)、中天时间、方位, 及时启动及关闭太阳能装置, 适时启动备用储能 系统或其他发电系统.
计算日照 时间, 预测太阳光电全年发电量, 规划与其他发电装置及储能系统的最佳搭配.
由太阳及月亮位置, 预测日蚀 发生时间. 提前预警太阳能设备进行特殊处理所需的时间资讯.
预测人造卫星进入地影时间. 观测者地理位置定位 (positioning)及天文导航 (celestial navigation) 应用:
定位: 由一个或多个已知星体
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
H
(
α
,
t
,
λ
)
,
δ
)
{\displaystyle (H(\alpha ,t,\lambda ),\delta )}
t
{\displaystyle t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\lambda ,\phi )}
原理: 所有位置中, 会观测到天体的高度角为
a
{\displaystyle a}
星下点 地理位置 GP 为中心(半径为余高, co-altitude,
90
∘
−
a
{\displaystyle 90^{\circ }-a}
公式: 利用地平座标中的参数
Z
h
{\displaystyle Z_{h}}
a
{\displaystyle a}
t
{\displaystyle t}
导航: 由假设的地理位置 (AP, Assumed Position) (
λ
A
P
,
ϕ
A
P
{\displaystyle \lambda _{AP},\phi _{AP}}
a
A
P
,
A
A
P
{\displaystyle a_{AP},A_{AP}}
a
{\displaystyle a}
截距法 (intercept method , IM)[ 2] 航位推测 (Dead reckoning ) 的误差. 天体地面位置投影及轨迹推测:
计算天体于特定时间
t
{\displaystyle t}
星下点 Substellar point)的地理位置 (GP, Geographic Position) (以经纬度表示).
G
P
(
α
,
δ
,
t
)
≜
(
λ
G
P
,
ϕ
G
P
)
{\displaystyle GP(\alpha ,\delta ,t)\triangleq (\lambda _{GP},\phi _{GP})}
−
G
H
A
(
α
,
t
)
,
δ
{\displaystyle -GHA(\alpha ,t),\delta }
α
−
G
S
T
(
t
)
,
δ
{\displaystyle \alpha -GST(t),\delta }
GHA: 天体的格林威治时角 (向西为正向东为负).
此处经度(
λ
G
P
{\displaystyle \lambda _{GP}}
λ
≡
λ
E
{\displaystyle \lambda \equiv \lambda _{E}}
λ
W
{\displaystyle \lambda _{W}}
计算天体及人造卫星的地面轨迹 (ground track).
绘制太阳所定义出来的晨昏线 (circle of illumination , Terminator (solar) ).
绘制日全蚀的地面的全蚀路径 (path of totality). 天体轨道测定 (orbit determination): 由移动天体或人造卫星在不同时间
t
{\displaystyle t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
状态向量 ), 并透过轨道力学 公式, 推测天体的 轨道要素 (英语：Orbital elements
t
{\displaystyle t}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
给定出没时的天体高度角
a
0
{\displaystyle a_{0}}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
日(星)出 、日(星)落 、曙暮光 等事件的时间可摘要如下：
sin
a
0
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
(
≜
Z
h
0
)
⇒
cos
H
0
=
sin
a
0
−
sin
ϕ
⋅
sin
δ
cos
ϕ
⋅
cos
δ
=
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
δ
−
tan
ϕ
⋅
tan
δ
(if
a
0
≠
0
)
=
−
tan
ϕ
⋅
tan
δ
(if
a
0
=
0
)
Let
H
0
=
arccos
(
sin
a
0
−
sin
ϕ
⋅
sin
δ
cos
ϕ
⋅
cos
δ
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
⇒
H
0
R
=
−
H
0
≡
360
∘
−
H
0
(HA at Rise time)
H
0
S
=
+
H
0
(HA at Set time)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin a_{0}&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H_{0}+\sin \phi \cdot \sin \delta &&(\triangleq Z_{h}^{0})\\\Rightarrow \cos H_{0}&={\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }}={\frac {\sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos \delta }}-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&=-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}H_{0}&=\arccos({\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1]\\\Rightarrow H_{0R}&=-H_{0}\equiv 360^{\circ }-H_{0}&&{\text{(HA at Rise time)}}\\H_{0S}&=+H_{0}&&{\text{(HA at Set time)}}\\\end{aligned}}}
此处, 天体出现时的天体时角为
H
0
R
=
−
H
0
{\displaystyle H_{0R}=-H_{0}}
H
0
S
=
+
H
0
{\displaystyle H_{0S}=+H_{0}}
c
o
s
(
A
)
=
c
o
s
(
−
A
)
{\displaystyle cos(A)=cos(-A)}
arccos
(
⋅
)
∈
[
0
,
180
∘
]
{\displaystyle \arccos(\cdot )\in [0,180^{\circ }]}
c
o
s
(
A
)
=
B
{\displaystyle cos(A)=B}
A
∈
{\displaystyle A\in }
A
=
∓
arccos
(
B
)
{\displaystyle A=\mp \arccos(B)}
注意, 如果
cos
H
0
>
+
1
(
≈
tan
ϕ
⋅
t
a
n
δ
<
−
1
)
{\displaystyle \cos H_{0}>+1(\approx \tan \phi \cdot tan\delta <-1)}
cos
H
0
<
−
1
(
≈
tan
ϕ
⋅
t
a
n
δ
>
+
1
)
{\displaystyle \cos H_{0}<-1(\approx \tan \phi \cdot tan\delta >+1)}
tan
ϕ
{\displaystyle \tan \phi }
tan
δ
{\displaystyle \tan \delta }
永昼 现象，到了冬至则看不到太阳升起而有永夜 的情境。这都可以由以上公式精确算出来。 若无永昼永夜之类的极端情况，则可由
H
0
{\displaystyle H_{0}}
G
S
T
0
h
{\displaystyle GST_{0h}}
L
S
T
0
=
α
∓
H
0
(LST for Rise/Set)
G
S
T
0
=
L
S
T
0
−
λ
(GST for Rise/Set)
Δ
S
T
0
h
=
G
S
T
0
−
G
S
T
0
h
(
Δ
S
T
as
Δ
G
S
T
w.r.t. midnight)
=
L
S
T
0
−
L
S
T
0
h
(or as
Δ
L
S
T
, both in Degrees)
Δ
t
=
Δ
S
T
0
h
/
R
0
(difference in Solar time, in Days)
t
R
S
=
t
0
h
+
Δ
t
×
24
h
=
Δ
S
T
0
h
/
R
0
×
24
h
(Rise/Set times, in Hour)
{\displaystyle {\begin{aligned}LST_{0}&=\alpha \mp H_{0}&&{\text{(LST for Rise/Set)}}\\GST_{0}&=LST_{0}-\lambda &&{\text{(GST for Rise/Set)}}\\\Delta ST_{0h}&=GST_{0}-GST_{0h}&&{\text{(}}\Delta ST{\text{ as }}\Delta GST{\text{ w.r.t. midnight)}}\\&=LST_{0}-LST_{0h}&&{\text{(or as }}\Delta LST{\text{, both in Degrees)}}\\\Delta t&=\Delta ST_{0h}/R_{0}&&{\text{(difference in Solar time, in Days)}}\\t_{RS}&=t_{0h}+\Delta t\times {24^{h}}=\Delta ST_{0h}/R_{0}\times {24^{h}}&&{\text{(Rise/Set times, in Hour)}}\\\end{aligned}}}
注意，以上计算是假设天体的位置 (
α
,
δ
{\displaystyle \alpha ,\delta }
天体出没的方位角，显然只跟天体所在的赤纬平行圈及观测地纬度有关，与出没时间无关。所有赤纬相同的天体都在同一天球赤纬平行圈上，该平行圈与地平线交于相同的两点，其方位即天体出或没时的方位。给定出没时的天体高度角
a
0
{\displaystyle a_{0}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
A
S
0
{\displaystyle A_{S0}}
A
N
0
{\displaystyle A_{N0}}
sin
δ
=
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
⋅
cos
A
S
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
(
≜
Z
e
0
)
⇒
cos
A
S
0
=
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
(if
a
0
≠
0
)
=
sin
δ
−
cos
ϕ
(if
a
0
=
0
)
Let
A
S
0
=
arccos
(
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
,
has rise/set
⇒
A
S
0
R
=
−
A
S
0
≡
360
∘
−
A
S
0
H
0
∈
[
−
0
,
−
180
]
(South Azimuth for Rise)
A
S
0
S
=
+
A
S
0
H
0
∈
[
+
0
,
+
180
]
(South Azimuth for Set)
and,
A
N
0
=
A
S
0
+
180
∘
(North Azimuth)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=-\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{S0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{e}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{S0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{-\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{S0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{S0R}&=-A_{S0}\equiv 360^{\circ }-A_{S0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (South Azimuth for Rise)}}\\A_{S0S}&=+A_{S0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (South Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{N0}&=A_{S0}+180^{\circ }&&{\text{(North Azimuth)}}\\\end{aligned}}}
另外, 也可以直接由
A
N
{\displaystyle A_{N}}
sin
δ
=
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
⋅
cos
A
N
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
(
≜
Z
e
N
0
)
⇒
cos
A
N
0
=
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
(if
a
0
≠
0
)
=
sin
δ
cos
ϕ
(if
a
0
=
0
)
Let
A
N
0
=
arccos
(
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
,
has rise/set
⇒
A
N
0
R
=
+
A
N
0
H
0
∈
[
−
0
,
−
180
]
(North Azimuth for Rise)
A
N
0
S
=
−
A
N
0
≡
360
∘
−
A
N
0
H
0
∈
[
+
0
,
+
180
]
(North Azimuth for Set)
and,
A
S
0
=
A
N
0
−
180
∘
(South Azimuth)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{N0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{eN}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{N0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{N0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{N0R}&=+A_{N0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (North Azimuth for Rise)}}\\A_{N0S}&=-A_{N0}\equiv 360^{\circ }-A_{N0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (North Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{S0}&=A_{N0}-180^{\circ }&&{\text{(South Azimuth)}}\\\end{aligned}}}
火箭、人造卫星、弹道导弹 、航天飞机 、太空船也可以用明亮的恒星执行导航任务。执行此类导航的装置通常称为恒星追踪仪
对于固定轨道的弹道导弹而言，则可预先计算每个预订时刻在预定位置可以观察到的亮星，及其相对于飞行路径的假想地平面的高度角及方位角。并从实际的观测值与计算值的差距，产生错误修正讯号，以修正其飞行轨迹，最终将导弹导引至目的地。[ 3]
在实际运用上，天体导航有时会与其他导航系统结合，截长补短，以提高导航的精确度。例如，恒星追踪仪可能跟惯性导航系统 (INS, Inertial Navigation System) 结合，形成所谓的星光惯性导航系统 (Stellar Inertial Navigation Systems)。
其他移动的天体，如行星 、彗星 、小行星 、月亮 、行星的卫星 、人造卫星 、太空船 等，也可以透过解开普勒方程式 ，求得它们在其轨道面的即时位置，再透过适当的座标转换 ，将轨道面座标转换到赤道座标，再转换到水平座标。这样就可以预测它们的方位角及高度角，再以人工或自动的方式，加以追踪。(太阳系行星位置计算及行星轨道要素
[ 4] 外部链接 .)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A&={\frac {\cos \delta \cdot \sin H}{-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}}&&={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}\\&={\frac {\sin H}{-\cos \phi \cdot \tan \delta +\sin \phi \cdot \cos H}}\\A_{0}&\triangleq \arctan {\frac {Y_{h}}{X_{h}}}&&\in [-90,90]\\A&={\begin{cases}A_{0}&\qquad X_{h}>0&\in [-90,90]\\A_{0}+180^{\circ }&\qquad Y_{h}\geq 0,X_{h}<0&\in [90,180]\\A_{0}-180^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}<0&\in [-90,-180]\\+90^{\circ }&\qquad Y_{h}>0,X_{h}=0\\-90^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}=0\\{\text{undefined}}&\qquad Y_{h}=0,X_{h}=0\end{cases}}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4fec198839bd844d01203b76d34b7cb6a10c73)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin a_{0}&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H_{0}+\sin \phi \cdot \sin \delta &&(\triangleq Z_{h}^{0})\\\Rightarrow \cos H_{0}&={\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }}={\frac {\sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos \delta }}-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&=-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}H_{0}&=\arccos({\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1]\\\Rightarrow H_{0R}&=-H_{0}\equiv 360^{\circ }-H_{0}&&{\text{(HA at Rise time)}}\\H_{0S}&=+H_{0}&&{\text{(HA at Set time)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f77cff8268a5a027cb6a563095222b77646d692)
![{\displaystyle \arccos(\cdot )\in [0,180^{\circ }]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f7f024cfe99517147162da60e2fcbb9589c7cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=-\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{S0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{e}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{S0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{-\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{S0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{S0R}&=-A_{S0}\equiv 360^{\circ }-A_{S0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (South Azimuth for Rise)}}\\A_{S0S}&=+A_{S0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (South Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{N0}&=A_{S0}+180^{\circ }&&{\text{(North Azimuth)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1982ce8232e56ff402028d92f82b643a151c307)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{N0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{eN}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{N0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{N0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{N0R}&=+A_{N0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (North Azimuth for Rise)}}\\A_{N0S}&=-A_{N0}\equiv 360^{\circ }-A_{N0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (North Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{S0}&=A_{N0}-180^{\circ }&&{\text{(South Azimuth)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6a19fc0df8c33f43d6e67897d59ed891722d3d)
