开普勒方程 （英语：Kepler's equation ）把轨道力学 中受到有心力 影响的轨道中天体多种几何性质联系起来。
图为五种由0到1不同离心率的开普勒方程解 这条方程最早由约翰内斯·开普勒 得出，推导过程见于他在1609年出版的著作《新天文学 》的第60章[ 1] [ 2] 哥白尼天文学概要 [ 3] [ 4] 天体力学 史上。
开普勒方程 如下：
M
=
E
−
e
sin
E
{\displaystyle M=E-e\sin E}
其中M 平近点角 ，E 偏近点角 ，而e 离心率 .
偏近点角E x = a (1 − e )y = 0t = t 0 平均运动 n M = n (t − t 0 )M E
x
=
a
(
cos
E
−
e
)
y
=
b
sin
E
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}
其中a 半长轴 ，而b 半短轴 。
由于正弦 是超越函数 ，所以开普勒方程是超越方程 ，即是说不能用代数方法 解出E E 数值分析 和级数 。
开普勒方程共有几种形式。每一种形式都同一种特定轨道类型有关。标准的开普勒方程用于椭圆轨道（0 ≤e e e e 巴克方程
当e = 0时，轨道是圆形的。增加e 会导致圆形变成椭圆。当e = 1时共有三种可能性：
抛物线轨迹；
沿着从吸引中心起始无限长射线向内或向外的轨迹；
或沿着由吸引中心和距其一定距离的点所形成的线段来回移动的轨迹。 把e e 趋向无限时，轨道则变成长度无限的直线。
双曲开普勒方程如下：
M
=
e
sinh
H
−
H
{\displaystyle M=e\sinh H-H}
其中H M −1的平方根 乘上椭圆方程的右边而得：
M
=
i
(
E
−
e
sin
E
)
{\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}
（其中E iH E
径向开普勒方程如下：
t
(
x
)
=
sin
−
1
(
x
)
−
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}}
其中t x 1/2 e
t
(
x
)
=
1
2
[
E
−
sin
(
E
)
]
{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}
代入得
E
=
2
sin
−
1
(
x
)
{\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})}
可以利用已知的E M M E 解析解 。
可以使用拉格朗日反算法 级数 表达式，但所有e M
文献中对开普勒方程可解性的混淆已存在了四个世纪[ 5]
“
对于它［开普勒方程］不能用演绎法求解这点我是足够满意的，因为弧和正弦之间有着本质上的差异。但若果我错了的话，任何人都应该给我指出来，而那个人在我眼中就是伟大的阿波罗尼奥斯 。
”
——约翰内斯·开普勒[ 6]
逆开普勒方程是所有实数值
e
{\displaystyle e}
E
=
{
∑
n
=
1
∞
M
n
3
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
sin
(
θ
)
3
)
n
)
)
,
e
=
1
∑
n
=
1
∞
M
n
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
e
sin
(
θ
)
)
n
)
)
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}
展开得：
E
=
{
s
+
1
60
s
3
+
1
1400
s
5
+
1
25200
s
7
+
43
17248000
s
9
+
1213
7207200000
s
11
+
151439
12713500800000
s
13
+
⋯
|
s
=
(
6
M
)
1
/
3
,
e
=
1
1
1
−
e
M
−
e
(
1
−
e
)
4
M
3
3
!
+
(
9
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
7
M
5
5
!
−
(
225
e
3
+
54
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
10
M
7
7
!
+
(
11025
e
4
+
4131
e
3
+
243
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
13
M
9
9
!
+
⋯
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\bigg |}{s=(6M)^{1/3}},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}
以上的级数可用Wolfram Mathematica 的InverseSeries运算得出。
InverseSeries [ Series [ M - Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] InverseSeries [ Series [ M - e Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] 这些函数只是简单的麦克劳林级数 。这样的超越函数泰勒级数写法可被视为那些函数的定义。因此，这个解是逆开普勒方程的正式定义。然而，在e E M 整函数 。其导数
d
M
/
d
E
=
1
−
e
cos
E
{\displaystyle dM/dE=1-e\cos E}
在e
E
=
±
i
cosh
−
1
(
1
/
e
)
{\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e)}
M
=
E
−
e
sin
E
=
±
i
(
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
)
{\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}
（其中逆cosh取正值），而dE/dM
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
{\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}
M
cos
−
1
(
1
/
e
)
−
e
2
−
1
{\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}}
e M <2π
还可以写出用e e 拉普拉斯极限 （约为0.66）时不会收敛，与M M 2π e M M M 2π
逆径向开普勒方程（e = 1）可被写成：
x
(
t
)
=
∑
n
=
1
∞
[
lim
r
→
0
+
(
t
2
3
n
n
!
d
n
−
1
d
r
n
−
1
(
r
n
(
3
2
(
sin
−
1
(
r
)
−
r
−
r
2
)
)
−
2
3
n
)
)
]
{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}
展开得：
x
(
t
)
=
p
−
1
5
p
2
−
3
175
p
3
−
23
7875
p
4
−
1894
3931875
p
5
−
3293
21896875
p
6
−
2418092
62077640625
p
7
−
⋯
|
p
=
(
3
2
t
)
2
/
3
{\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}
上述结果可用Wolfram Mathematica 求得:
InverseSeries [ Series [ ArcSin [ Sqrt [ t ]] - Sqrt [( 1 - t ) t ], { t , 0 , 15 }]]
逆问题在大部分的应用中都能以数值方法求得函数的根 ：
f
(
E
)
=
E
−
e
sin
(
E
)
−
M
(
t
)
{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}
可以经牛顿法 来进行迭代：
E
n
+
1
=
E
n
−
f
(
E
n
)
f
′
(
E
n
)
=
E
n
−
E
n
−
e
sin
(
E
n
)
−
M
(
t
)
1
−
e
cos
(
E
n
)
{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}
注意在这个计算E M f(E) E 0 = M (t ) 已经足够。而对e > 0.8的轨道而言，则应取起始值{{{1}}} [ 7] :66-67 。而在面对抛物线轨迹的个案时则使用巴克方程
开普勒方程常被声称“没有解释解”；例子见这里 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）。至于这是否真确取决于是否认为无限级数（或不一定收敛的级数）算解释解。也有其他作者无理地声称此方程无解；例子见M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
Danby, J. M.; Burkardt, T. M. The solution of Kepler's equation. I. Cel. Mech. 1983, 31 : 95–107. Bibcode:1983CeMec..31...95D doi:10.1007/BF01686811 Conway, B. A. An improved algorithm due to Laguere for the solution of Kepler's equation. 1986. doi:10.2514/6.1986-84 Mikkola, Seppo. A cubic approximation for Kepler's equation. Cel. Mech. 1987, 40 (3). Bibcode:1987CeMec..40..329M doi:10.1007/BF01235850 Fukushima, Toshio. A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations. Cel. Mech. Dyn. Astron. 1996, 66 (3): 309–319. Bibcode:1996CeMDA..66..309F doi:10.1007/BF00049384 Charles, E. D.; Tatum, J. B. The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1997, 69 (4): 357–372. Bibcode:1997CeMDA..69..357C doi:10.1023/A:1008200607490 Stumpf, Laura. Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation. Cel. Mech. Dyn. Astr. 1999, 74 (2): 95–109. doi:10.1023/A:1008339416143 Palacios, M. Kepler equation and accelerated Newton method. J. Comp. Appl. Math. 2002, 138 : 335–346. Bibcode:2002JCoAM.138..335P doi:10.1016/S0377-0427(01)00369-7 Boyd, John P. Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine. Appl. Num. Math. 2007, 57 (1): 12–18. doi:10.1016/j.apnum.2005.11.010 
![{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ac18a34c030c0ecabc83bdc27a39e23b74db2f)
![{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b5648a447da6d4efa9ec7969d4c3378598c3cb)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bb7605f35d5f52f7c5c7439592bae70e1b2f33)
