在相对论里,四维矢量(four-vector)是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点,都代表一个“事件”,可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量,通过洛伦兹变换,可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。
- 本条目中,矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,或。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,表示平方;而是的第二个分量。
本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量,尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果,必须加以修改,才能在广义相对论范围内成立。
数学性质
在闵可夫斯基时空内的任何一点,都可以用四维矢量(一组标准基底的四个坐标) 来表示;其中,上标 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”,又称“四维坐标”,定义为
- ;
为了确使每一个坐标的单位都是长度单位,定义 。
“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里,四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时,位移就是位置。四维位移 表示为
- 。
带有上标的四维矢量 称为反变矢量,其分量标记为
- 。
假若,标号是下标,则称四维矢量 为协变矢量。其分量标记为
- 。
在这里,闵可夫斯基度规 被设定为
- 。
采用爱因斯坦求和约定,则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为
- 。
闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” 相等:
- 。
给予两个惯性参考系 、 ;相对于参考系 ,参考系 以速度 移动。对于这两个参考系,相关的“洛伦兹变换矩阵” 是
- ;
其中, 是洛伦兹因子,是“贝塔因子”。
对于这两个参考系 、 ,假设一个事件的四维坐标分别为 、 。那么,这两个四维坐标之间的关系为
- 、
- ;
其中, 是 的反矩阵,
- 。
将这两个四维坐标之间的关系式合并为一,则可得到
- 。
因此,可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性:
- ;
其中, 是克罗内克函数。
另外一个很有用的特性为
- ;
给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标,通过洛伦兹变换,就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时,所涉及的四维矢量,最好都能够具有这有用的性质。这样,可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示,对于两个参考系 、 ,具有这种有用性质的四维矢量 、 满足
- 、
- 。
在计算这四维矢量对于时间的导数时,若能选择固有时为时间变数,则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为,固有时乃是个不变量;改变惯性参考系不会改变不变量。
假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里,物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻,选择与物体同样运动的惯性参考系,称为“瞬间共动参考系”(momentarily comoving reference frame)。在这瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向,新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。[1]:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时,标记为 。这就好像给物体挂戴一只手表,随着物体的运动,手表也会做同样的运动,而手表所纪录的时间就是固有时。
这物体的运动可以用一条世界线 来描述。由于时间膨胀,发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 与从别的惯性参考系 所观测到的微小时间间隔 的关系为
- 。
所以,固有时 对于其它时间 的导数为
- 。
在闵可夫斯基空间里,两个四维矢量 与 的内积,称为闵可夫斯基内积,以方程表示为:
- 。
由于这内积并不具正定性,即
可能会是负数;而欧几里得内积一定不是负数。
许多学者喜欢使用相反正负号的 :
- 。
这样, 与 的内积改变为
- 。
其它相联的量值也会因而改变正负号,但这不会改变系统的物理性质。
从参考系 改换至另一参考系 , 与 的内积为
- 。
所以,在闵可夫斯基时空内,两个四维矢量的内积是个不变量:[1]:44-46
- 。
四维矢量可以分类为类时,类空,或类光(零矢量):
- 类时矢量: ,
- 类空矢量: ,
- 类光矢量: 。
动力学实例
设想一个物体运动于闵可夫斯基时空,则其世界线的任意事件 的四维速度 定义为[1]:46-48
- ;
其中, 是三维速度,或经典速度矢量。
的空间部分与经典速度 的关系为
- 。
四维速度与自己的内积等于光速平方,是一个不变量:
- 。
在物体的瞬间共动参考系里,物体的速度为零,因此,四维速度为
- ,
其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 同向;
其中, 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。
四维加速度 定义为 [1]:46-48
- 。
经过一番运算,可以得到洛伦兹因子对于时间的导数:
- ;
其中, 是经典加速度。
所以,四维加速度 可以表示为
- 。
由于 是个常数,四维加速度与四维速度相互正交;也就是说,四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零:
- 。
对于每一条世界线,这计算结果都成立。
注意到在瞬间共动参考系里, 只有时间分量不等于零,所以, 为的时间分量为零:
- 。
一个静止质量为 的粒子的四维动量 定义为
- 。
经典动量 定义为
- ;
其中, 是相对论性质量。
所以, 的空间部分等于经典动量 :
- 。
作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数:
- 。
提出四维动量内的静止质量因子,即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度:
- 。
因此,四维力可以表示为
- 。
经典力 定义为
- 。
所以,的空间部分等于 :
- 。
物理内涵
在四维矢量的表述里,存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系,可以显示出这表述的功能与精致。
假设,在微小时间间隔 ,一个运动于时空的粒子,感受到作用力 的施加,而这粒子的微小位移为 。那么,作用力 对于这粒子所做的微小机械功 为
- 。
因此,这粒子的动能的改变 为
- 。
粒子的动能 对于时间的导数为
- 。
将前面经典力和经典速度的公式带入,可以得到
- 。
这公式的反微分为
- 。
当粒子静止时,动能等于零。所以,
- 。
这公式的右手边第二个项目就是静止能量 。动能 加上静止能量 等于总能量 :
- 。
再加简化,以相对论性质量 表示:
- 。
这方程称为质能方程。
使用质能方程 ,四维动量可以表示为
- 。
四维动量与自己的内积为
- 。
改以四维速度来计算内积:
- 。
所以,能量-动量关系式为
- 。
电磁学实例
在电磁学里,四维电流密度 是一个四维矢量,定义为
- ;
在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度,称为固有电荷密度 。四维电流密度与四维速度的关系为
- 。
电荷守恒定律能以三维矢量表示为
- 。
这定律也能以四维电流密度表示为
- 。
从这方程,可以推论四维电流密度的四维散度等于零。
- 。
黎曼-索末菲方程表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系[2]:
- ;
- ;
其中, 是电磁波的频率, 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。
四维频率与自己的内积永远等于零:
- 。
- 。
其中, 是三维波矢量。
四维波矢量与四维频率之间的关系为
- 。
参阅
参考文献
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