反扭棱小星形十二面体

在几何学中，反扭棱小星形十二面体是一种星形均匀多面体，索引为U₆₀^[5]，是中逆五角六十面体（英语：Medial inverted pentagonal hexecontahedron）的对偶多面体^[7]，并且与扭棱小星形十二面体拓朴同构^[8]。

反扭棱小星形十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	中逆五角六十面体（英语：Medial inverted pentagonal hexecontahedron）
识别
名称	反扭棱小星形十二面体 Inverted snub dodecadodecahedron
参考索引	U60, C76, W114
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	isdid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	[1][2]
施莱夫利符号	sr{5⁄3,5}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 5⁄3 2 5[3][4][5] | 2 5⁄3 5[6]:180[7]
性质
面	84
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=84, E=150, V=60 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	20个正三角形 12个正五边形 12个正五角星
顶点图	3.3.5.3.5⁄3
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
3.3.5.3.5⁄3 （顶点图） 中逆五角六十面体（英语：Medial inverted pentagonal hexecontahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

反扭棱小星形十二面体共由84个面、150条边和60个顶点组成^[5]，欧拉示性数为-6^[3]。在其84个面中，有60个正三角形面、12个正五边形面和12个正五角星面^[9]其60个顶点每个顶点都是1个正十角星、1个五角星和3个三角形的公共顶点，并且这些面在顶都周围皆是依照三角形、反向相接的五角星、三角形、三角形、五边形和三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(3,5⁄3,3,3,5)^[5][10]、(5⁄3,3,3,5,3)^[1][3]或(5.3.5⁄3.3.3)^[11]来表示。

表示法

反扭棱小星形十二面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[1][2]，在施莱夫利符号中可以表示为sr{5⁄3,5}，在威佐夫记号中可以表示为| 5⁄3 2 5 ^[3][4][5]或| 2 5⁄3 5^[6]:180[7]。

二面角

反扭棱小星形十二面体有三种二面角，分别为五边形面和三角形面的二面角、三角形面和三角形面的二面角以及五角星面和三角形面的二面角。其中五边形面和三角形面的二面角的值为多项式4100625 x⁸-32805000 x⁷[phone] x⁶-119799000 x⁵[phone] x⁴-20763000 x³+7189740 x²-2234280 x+201601之正实根（约为0.132650687）的平方根（约为0.36421242）的反余弦值，约为68.640878254度^[12]；三角形面和三角形面的二面角的值为多项式6561 x⁴-20412 x³+30942 x²-20556 x+4489之正实根（约为0.4216231174）的负平方根的反余弦值，约为130.490738467度^[12]；五角星面和三角形面的二面角的值为多项式4100625 x⁸-32805000 x⁷[phone] x⁶-119799000 x⁵[phone] x⁴-20763000 x³+7189740 x²-2234280 x+201601之正实根（约为0.9627736877）的平方根（约为0.9812103178）的反余弦值，约为11.124480107度。^[12]

尺寸

若反扭棱小星形十二面体的边常为单位长，则其外接球半径为多项式${\displaystyle 64x^{4}-192x^{3}+180x^{2}-65x+8}$之较小正实根（约为0.72527）的平方根^[12]，约为0.8516302^[13]。

相关多面体

两个反扭棱小星形十二面体可以复合成均匀复合体，称为二复合反扭棱小星形十二面体（英语：Compound of two inverted snub dodecadodecahedra）^[14]。

二复合反扭棱小星形十二面体（英语：Compound of two inverted snub dodecadodecahedra）

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
• 扭棱小星形十二面体

参考文献

1. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
2. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
3. Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra (PDF). Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57–110 [2022-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2018-06-19）.
4. V.Bulatov. inverted snub dodecadodecahedron. [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-14）.
5. Roman E. Maeder. 60: inverted snub dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-05-25）.
6. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
7. Weisstein, Eric W. (编). Inverted Snub Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
8. Richard Klitzing. isdid, inverted snub dodecadodecahedron. bendwavy.org. [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-17）.
9. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
10. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #65, inverted snub dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-14）.
11. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
12. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Inverted Snub Dodecadodecahedron. [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-14）.
13. Eric W. Weisstein. Inverted Snub Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-14]. （原始内容存档于2013-06-21）.
14. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79: 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440