又称格尔丰德常数(英语:Gelfond's constant)是一个数学常数。与e和π一样,它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明,并注意到:
![{\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75b41ac3b6542c77df1d66d3b3f76631d6c2744)
Quick Facts 命名, 名称 ...
e的π次方e的π次方 |
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命名 |
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名称 | 格尔丰德常数 |
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识别 |
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种类 | 无理数 超越数 |
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符号 | ![{\displaystyle e^{\pi }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefb10ad1f3612be16a802dd913a9edfb5b9d823) |
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位数数列编号 | A039661 |
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性质 |
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连分数 | [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...] |
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以此为根的多项式或函数 | ![{\displaystyle x^{i}+1=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b9b91dcce459541a26d15160f030e4eddd1b05) |
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表示方式 |
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值 | 23.140692632779269
![{\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaacf09b00028e08f0d4faf73886b130f4959119)
![{\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{\tfrac {1}{i}}={\sqrt[{i}]{-1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf16f90a9cb8878716f6109ce562c57a1f30bcc9)
![{\displaystyle e^{\pi }=(i)^{(-2i)}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748af778015dbd1371d052ec37d9edfeabf61df0)
![{\displaystyle e^{\pi }={{1} \over {(i^{i})^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0a7021459ced748fbed666abe3628eba6b9ed2) |
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二进制 | 10111.001001000000010001101110… |
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十进制 | 23.140692632779269005729086… |
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十六进制 | 17.24046EB093399ECDA7489F9A… |
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Close
其中i是虚数单位。由于−i是代数数,但肯定不是有理数,因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是
,又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值
也是无理数[1]。
在十进制中,eπ大约为
![{\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1db9fb8aa52c52db446366c39bbac471b6a0a6)
它的值可以用以下迭代来求出。定义
![{\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44365d44b7d2377228a75aeca3e594b4cb8d9df5)
其中
则
![{\displaystyle \left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb01a552e77c766802773f3113eb7dc550cf876)
迅速收敛于
。
n维球体的体积由以下公式给出:
![{\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494303f8ebb7dfa689bec5a57b1affdfaaa23d96)
所以,任何一个偶数维的单位球具有体积:
![{\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9695cd63597c239b2e48869d53f8fe08e969328d)
把所有偶数维的单位球的体积加起来,得出:[2]
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d489737a0d2d44bceb023c671087bdf1c433f41b)
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31381d956a14f4b7583f9660ea83efbc8715d2d)
即所谓的拉马努金常数,是黑格纳数的一个应用,其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。
同 eπ - π 一样,eπ√163 非常接近整数:
7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ![{\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f4dc392b2d04b254abf3c17dfc6fbd5762eb9d)
虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现,但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数,因而以他为名。
这种非常近似于 6403203 + 744 的巧合,可以用 j-invariant的复数乘法及q展开来表示。
![{\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a251fb49e9ea4429735e171c0bfa037f327ae995)
且
![{\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb809bed80e1caeb5f5a363d8bc81a782264a54)
而 O(e-π√163) 是误差项。
![{\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b251dd36f1069389f18306b9b9309f11b57b67)
这解释了为何 eπ√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。(这个证明的细节,可以参考黑格纳数)。
由 A018938 所给出 eπ - π 的十进制表示为
7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...
尽管这个数非常接近正整数 20 ,但目前没有关于这个现象的解释;因此,被认为是一种数学巧合。
由 A059850 给出的 πe 十进制表示为:
7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...
目前还不知此数是否是超越数。
须注意的是,根据 格尔丰德-施奈德定理,只有在 a 是代数数,而 b 是非有理数(a,b 都是复数,且 a ≠ 0, a ≠ 1)的情况下,ab 才为超越数。
之所以可以证明 eπ 是超越数,其原因在于复数的指数形式,因为 π 可以被视为复数 eπ 的模,而根据 (-1)-i 的等式,才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。
πe 则没有如此的等式,所以,尽管 π 和 e 都是超越数,但我们不能由此说 πe 是超越数。
如同 πe,我们仍不知 eπ - πe 是否是超越性质的。甚至,目前还没有证明说它是无理数:
由 A059850 给出的 eπ - πe 十进制表示为:
6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...
![{\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a209ce1275bbb0261eb1d7312285f834b42dca)
由
A059850给出的 ii 十进制表示为:
6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...
因为上述等式,可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的:
i 是代数数,但同时不是有理数,由此ii 是超越数。
Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914.
Connolly, Francis. University of Notre Dame