格尔丰德-施奈德常数

格尔丰德-施奈德常数即为2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方，其值为：

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441...}$

2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方

2的${\displaystyle {\sqrt {2}}}$次方
命名
名称	格尔丰德-施奈德常数 希尔伯特数[1]
识别
种类	无理数 超越数
符号	${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$
位数数列编号	A007507
表示方式
值	${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\approx }$2.6651441...
二进制	10.101010100100011011100010…
十进制	2.665144142690225188650297…
十六进制	2.AA46E2F3FB0062E316C62EDE…
查 论 编

罗季翁·库兹明在1930年证明此数字是超越数^[2]。 1934年苏联数学家亚历山大·格尔丰德和德国数学家西奥多·施耐德分别独立证明了更一般的格尔丰德-施奈德定理^[3]，因此证明格尔丰德-施奈德常数为超越数，也回答了希尔伯特第七问题。

它的平方根

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.6325269...}$

也是一个超越数。在无理数的无理数次方为有理数这个命题中，它可用来提供一个经典、简捷的证明。

无理数的无理数次方为有理数

尽管已知 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是超越数，自然也就会是无理数。但在不知道它是无理数的情况下，仍可以证明此事。

命题：在在 a, b 是无理数，使得 ${\displaystyle a^{b}}$为有理数。

证明：

已知${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数，考虑 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$，它有可能是有理数，也可能是无理数。

• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是有理数，即得证。
• 若 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 是无理数，则

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{{\sqrt {2}}\ \times {\sqrt {2}}}=({\sqrt {2}})^{2}=2.}$

为有理数，得证。

希尔伯特第七问题

主条目：希尔伯特第七问题

希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则a^b总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。

1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$的超越性。他对观众说，在你们还活着的时候肯定没人证明这三个猜想。^[4]但这个数的超越性在1934年得出证明^[5]，当时希尔伯特还活着。

参见

• e的π次方
• 希尔伯特数

参考文献

1. Courant, R.; Robbins, H., What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press: 107, 1996
2. R. O. Kuzmin. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 1930, 7: 585–597.
3. Aleksandr Gelfond. Sur le septième Problème de Hilbert. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. 1934, VII (4): 623–634 [2021-11-01]. （原始内容存档于2020-06-11）.
4. David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920.
5. Aleksandr Gelfond, Sur le septième Problème de Hilbert, Bull. Acad. Sci. URSS Leningrade 7, pp.623-634, 1934.