阿贝尔范畴
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在数学中,阿贝尔范畴(或称交换范畴)是一个能对态射与对象取和,而且核与上核存在且满足一定性质的范畴;最基本的例子是阿贝尔群构成的范畴Ab。阿贝尔范畴是同调代数的基本框架。
定义
阿贝尔范畴的公理版本繁多,在此仅取其一(见外部链接)。
一个范畴若满足下述条件,则称阿贝尔范畴:
只满足前两个条件者称作预阿贝尔范畴。
若取为一交换环,则在上述定义中以k-加法范畴代换加法范畴,便得到k-阿贝尔范畴之定义。
例子
- 如上所述,全体阿贝尔群构成一个阿贝尔范畴Ab,而有限生成阿贝尔群构成的满子范畴也是阿贝尔范畴,有限阿贝尔群亦同。
- 设
为环,则左(或右)
-模范畴构成一个阿贝尔范畴;根据Mitchell嵌入定理,任何小的阿贝尔范畴皆价于某个
-模范畴的一个满子范畴。
- 如果
是左诺特环,则有全体有限生成左
-模构成阿贝尔范畴;这是阿贝尔范畴在交换代数中的主要面貌。
- 由前两个例子可知:固定一个域或除环,其上的向量空间成一阿贝尔范畴,有限维向量空间亦同。
- 设
为拓扑空间,则所有
上的(实或复)向量丛构成阿贝尔范畴。
- 承上,固定一个阿贝尔范畴
,则取值于
的层与预层都构成阿贝尔范畴。这是阿贝尔范畴在代数几何中的主要面貌。
- 若
为小范畴而
为阿贝尔范畴,则所有函子
构成一个阿贝尔范畴(其态射为自然变换),若更设
为预加法范畴,则所有加法函子
也构成阿贝尔范畴。这在一方面推广了空间上预层的例子,一方面也函摄了
-模的例子,因为环可视为仅有单个对象的预加法范畴。
- 拓扑向量空间是预阿贝尔范畴,而非阿贝尔范畴。
基本性质
- 在阿贝尔范畴中,任何态射
皆可分解为单射。满射,其中的满射称为
的上像,而单射则称为
的像。此性质源自公理中对态射严格性的要求。
- 任一态射
是单射当且仅当
,是满射当且仅当
,是同构当且仅当
。
- 子对象与商对象具良好性质。例如:任一对象的子对象构成的偏序集合是有界格。
- 任一阿贝尔范畴
可设想为有限生成阿贝尔群的么半范畴上的模;这意谓着我们能构造一个有限生成阿贝尔群
与对象
的张量积。
- 承上,阿贝尔范畴也是上模;
可以诠释为
的对象。若
完备,
的有限生成假设可以移除。
相关概念
阿贝尔范畴是同调代数的基本框架,它容许讨论同调代数中的基本构造,如正合序列、短正合序列与导函子。
对所有阿贝尔范畴均成立的重要结果包括五引理(含特例短五引理)与蛇引理(含特例九引理)等等。
源流
阿贝尔范畴源于亚历山大·格罗滕迪克知名的东北论文,该论文发表于1950年代,当时存在两套不同的上同调理论:群上同调与层上同调,两者性质相近而定义迥异。格罗滕迪克将两套理论以阿贝尔范畴上的导函子统合:一者是拓扑空间上的阿贝尔层范畴,一者则是群
的
-模范畴,导出上同调的函子分别是
与
。
文献
- P. Freyd. Abelian Categories, Harper and Row, New York, 1964. 可在线阅读. (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- Alexandre Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematics Journal, 1957
- Barry Mitchell: Theory of Categories, New York, Academic Press, 1965.
- N. Popescu: Abelian categories with applications to rings and modules, Academic Press, London, 1973.
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490