计数测度

在测度论中，计数测度是可以定义在任意集合上的测度，它将每个集合含有的元素个数作为这个集合的测度。准确来说，对于任何一个可测空间${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)}$，我们都可以定义这个可测空间上的测度${\displaystyle \mu }$，使得对于任意可测集${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$，${\displaystyle \mu (E)}$就是集合${\displaystyle E}$中含有的元素个数，即

$${\displaystyle \mu (E)={\begin{cases}\vert E\vert &\vert E\vert <\infty ,\\+\infty &\vert E\vert =+\infty .\end{cases}}}$$

这里${\displaystyle \vert E\vert }$表示集合的基数。^[1]

特别地，可测空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$上的计数测度是σ-有限的当且仅当${\displaystyle \Omega }$是可数集。^[2]

参考文献

1. Schilling, René L. Measures, Integral and Martingales. Cambridge University Press. 2005: 27. ISBN 0-521-61525-9.
2. Hansen, Ernst. Measure Theory (Fourth ed.). University of Copenhagen. 2009: 47. ISBN 978-87-91927-44-7.