素元

在数学里，尤其是在抽象代数里，交换环的素元（prime element）是指满足类似整数里的素数或不可约多项式之性质的一个数学对象。须注意的是，素元与不可约元素之间并不相同，虽然在唯一分解整环里是一样的，但在一般情况下则不一定相同。

定义

交换环 R 的元素 p 被称为素元，若该元素不为 0 或可逆元，且若 p 整除 ab（a 与 b 为 R 内的元素），则 p 整除 a 或 p 整除 b。等价地说，一元素 p 为素元，当且仅当由 p 产生的主理想 (p) 为非零素理想^[1]。

对素元的兴趣来自于算术基本定理。该定理断言，每个非零整数都可以以唯一一种方式写成 1 或 -1 乘上一串正素数之乘积。这导致了对唯一分解整环的研究，推广了仅在整数内被描述之概念。

一个元素是否为素元，取决于该元素处于哪个环内；例如，2在 Z 里是个素元，但在高斯整数环 Z[i] 里则不是，因为 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 无法整除等式右边的任一因子。

与素理想间的关连

主条目：素理想

环 R 内的一个理想 I 为素理想，若商环 R/I 为一整环。

一非零主理想为素理想，当且仅当该主理想由一素元所产生。

不可约元素

主条目：不可约元素

不可将素元与不可约元素搞混。在一整环里，每个素元都是不可约元素^[2]，但反之不一定成立。不过，在唯一分解整环^[3]（或更一般地，在GCD环）里，素元与不可约元素会是相同的元素。

举例来说，在二次整数环（英语：quadratic integer ring）${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是素元，因为

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

但 ${\displaystyle 3}$ 无法整除 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$，也无法整除 ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$。^[4]

例子

下面为环里的素元之例子：

• 在整数环 Z 里的整数 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ...
• 在高斯整数环 Z[i] 里的复数 (1+i)、19 与 (2+3i)
• 在 Z 上之多项式环 Z[x] 里的多项式 x² − 2 与 x² + 1

参考资料

注记

1. Hungerford 1980，Theorem III.3.4(i) 如书中所证明的，这两个陈述等价。
2. Hungerford 1980，Theorem III.3.4(iii)
3. Hungerford 1980，Remark after Definition III.3.5
4. William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.

参考书籍

• Section III.3 of Hungerford, Thomas W., Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974, New York: Springer-Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654
• Jacobson, Nathan, Basic algebra. II 2, New York: W. H. Freeman and Company: xviii+686, 1989, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787

• Kaplansky, Irving, Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc.: x+180, 1970, MR 0254021