范数 (域论)

提示：此条目页的主题不是范数。

在域论，范数是一种映射。

设${\displaystyle K}$为域，${\displaystyle L}$是${\displaystyle K}$的有限代数扩张。将${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle L}$的一个元素相乘，是一个线性变换：

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L}$

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$定义为${\displaystyle m_{\alpha }}$的行列式。

因此可得${\displaystyle N_{L/K}}$的性质：

• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in K\forall \alpha \in L}$
• ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha \beta )=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )}$

若${\displaystyle L/K}$为伽罗瓦扩张，${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$是${\displaystyle \alpha }$所有共轭的积，即是${\displaystyle \alpha }$的极小多项式的所有根的积。

代数整数的范数仍是代数整数。

在代数数论亦可为理想定义范数。若${\displaystyle I}$是代数数域${\displaystyle K}$的整数域${\displaystyle O_{k}}$中的理想，${\displaystyle N(I)}$是${\displaystyle O_{k}/I}$的剩余类的数目。

例子

• 复数的范数：对于${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$，对于复数此一实数域扩张，${\displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}}$，即复数和其共轭复数之积，因为${\displaystyle a+bi}$在${\displaystyle \mathbb {R} }$的极小多项式的根是${\displaystyle a\pm bi}$。
• 设${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),K=\mathbb {Q} ,\varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$（黄金分割）。${\displaystyle N(\varphi )=(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})/4=1}$，因为它在${\displaystyle L}$的极小多项式是${\displaystyle x^{2}-x-1}$。