可逆元

单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 ${\displaystyle R\,}$内的可逆元是指一 ${\displaystyle R\,}$的可逆元，即一元素 ${\displaystyle u\,}$使得存在一于 ${\displaystyle R\,}$内的 ${\displaystyle v\,}$有下列性质： ${\displaystyle uv=vu=1_{R}\,}$，其中 ${\displaystyle 1_{R}\,}$是乘法单位元。

亦即， ${\displaystyle u\,}$是 ${\displaystyle R\,}$内乘法幺半群的一可逆元素。

可逆元群

主条目：单位群

${\displaystyle R\,}$的可逆元组成了一于乘法下的群${\displaystyle U(R)\,}$ ，称做 ${\displaystyle R\,}$的可逆元群(或单位群)。可逆元群U(R)有时亦被标记成R^*或R^×。

在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。

一个环R是一个除环当且仅当R^* = R \ {0}。

例子

• 在整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$里，可逆元为±1。其每一轨道内都有两个元素n和−n。

• 任一单位根均是某一单作环${\displaystyle R}$内的可逆元。（若${\displaystyle r}$是一单位根，且${\displaystyle r^{n}=1}$，则${\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}}$亦为${\displaystyle R}$的元素）。
• 在代数数论里，狄利克雷单位定理证明了许多代数整数环内可逆元的存在域。例如，在环${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}$，${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1}$，因此${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1}$都是可逆元。
• 在环${\displaystyle M(n,F)}$，于一体${\displaystyle F}$上的${\displaystyle n\times n}$矩阵内，其可逆元恰好就是可逆矩阵。