比值审敛法
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比值审敛法(Ratio test)是判别级数敛散性的一种方法,又称为达朗贝尔判别法(D'Alembert's test)[1]。
定理
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Decision_diagram_for_the_ratio_test_%28Chinese%29.png/640px-Decision_diagram_for_the_ratio_test_%28Chinese%29.png)
Quick Facts 无穷级数, 审敛法 ...
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设为一级数,如果
,
- 当ρ<1时级数绝对收敛
- 当ρ>1时级数发散
- 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。
证明
如果,那么存在一个实数
以及一个正整数
,满足
,使得当
时,总有
成立;因此在上述条件下,当
为正整数时有
,于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛:
如果,那么同样存在一个正整数
,使得当
时,总有
,求和项的极限不为零,于是级数发散。
而当时,以
与
为例,结果同样为
,但前者发散而后者收敛(后者收敛值为
),该例子可以用比较审敛法来审敛。
例子
收敛
考虑级数
因此该级数收敛。
发散
考虑级数
= = = = = =
因此该级数发散。
不能确定
级数
发散,但
而级数
收敛,但
参见
参考文献
- 卓里奇, B.A. 数学分析 第7版. ISBN 9787040287554.