审敛法
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在数学领域,收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。
判别法列表
通项极限判别法
Quick Facts 无穷级数, 审敛法 ...
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如果序列通项的极限不为零或无定义,即,那么级数不收敛。在这种意义下,部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。
比值审敛法(检比法)
假设对任何的,
。如果存在
使得:
如果,那么级数绝对收敛。如果
,那么级数发散。如果
,比例判别法失效,级数可能收敛也可能发散,此时可以考虑高斯判别法。
设是要判断审敛性的级数,其中(至少从某一项开始)
。倘若其相邻项比值
可以被表示为:
其中和
都是常数,而
是一个有界的序列,那么
- 当
或
时,级数收敛;
- 当
或
时,级数发散。
根值审敛法(检根法)
其中表示上极限(可能为无穷,若极限存在,则极限值等于上极限)。
如果,级数绝对收敛。如果
,级数发散。如果
,开方判别法无效,级数可能收敛也可能发散。
级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令为一正项单调递减函数。如果:
那么级数收敛。如果积分发散,那么级数也发散。
如果是一个绝对收敛级数且对于足够大的n,有
,那么级数
也绝对收敛。
如果,并且极限
存在非零,那么
收敛当且仅当
收敛。
具有以下形式的级数。其中所有的
非负,被称作交错级数。如果当
趋于无穷时,数列
的极限存在且等于
,并且每个
小于或等于
(即数列
是单调递减的),那么级数收敛。如果
是级数的和
那么部分和
逼近
有截断误差
。
给定两个实数项数列和
,如果数列满足
收敛,
是单调且有界的,则级数
收敛。
参阅
参考文献