标准差,又称标准偏差、均方差 (英语:standard deviation,缩写SD,符号σ),在概率统计中最常使用作为测量一组数值的离散程度之用。标准差定义:为方差开算术平方根,反映组内个体间的离散程度;标准差与期望之比为标准离差率。测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质:
- 为非负数值(因为平方后再做平方根);
- 与测量资料具有相同单位(这样才能比对)。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
“
均方差”重定向至此。关于均方误差(MSE),详见“
均方误差”;关于均方根误差(RMSE),详见“
均方根误差”。
图中红蓝两组数据平均值相同,但标准差不同。红色数据的标准差较蓝色数据的标准差要小。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。其公式如下所列。
标准差的概念由卡尔·皮尔逊引入到统计中。
简单来说,标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。
表述“相差
个标准差”,即在
的样本(sample)范围内考量。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越小,代表回报较为稳定,风险亦较小。
![{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc45b72e1fd6a3de3ec4977f42367f104f57583f)
为平均值。
上述公式可以如下代换而简化:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4f2aa4baf87357ada5b80b8c3ec8550b021ee5)
所以:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381eac704a473e18a01c4960f2947b4ad74f68c)
根号里面,亦即方差(
)的简易口诀为:“平方和的平均”减去“平均的平方”。
这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 }:
- 第一步,计算平均值
︰
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269c0c2d794f2caa3e7c35c8de0a91d5d555e7c1)
- 当
(因为集合里有4个数),分别设为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2fd6b1c672794267719a4c6a90d2a9740fd989)
则平均值为
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4211e852a46bfaaa4a6d9405b85c58346f81a1)
- 第二步,计算标准差
︰
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70d5a82e6a7e5dd0127f7d62f36be9144c94119)
深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围,在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%;两个标准差之内(深蓝,蓝)的比率合起来为95%;三个标准差之内(深蓝,蓝,浅蓝)的比率合起来为99.7%。
在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”。
![{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e66f831f31efc53adc1663d3fc80f0f6307061)
![{\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f147e9e44560be306bf3c3c09f75790b9cc795f)
.[1]
Percentage within(z)
z(Percentage within)
More information 数字比率 标准差值, 概率 ...
数字比率 标准差值
|
概率
|
包含之外比例
|
百分比
|
百分比
|
比例
|
0.318 639σ
|
25%
|
75%
|
3 / 4
|
6999674490000000000♠0.674490σ
|
7001500000000000000♠50%
|
7001500000000000000♠50%
|
1 / 7000200000000000000♠2
|
6999994458000000000♠0.994458σ
|
68%
|
32%
|
1 / 3.125
|
1σ
|
7001682689492000000♠68.2689492%
|
7001317310508000000♠31.7310508%
|
1 / 7000315148720000000♠3.1514872
|
7000128155200000000♠1.281552σ
|
80%
|
20%
|
1 / 5
|
7000164485400000000♠1.644854σ
|
90%
|
10%
|
1 / 10
|
7000195996400000000♠1.959964σ
|
95%
|
5%
|
1 / 20
|
2σ
|
7001954499736000000♠95.4499736%
|
7000455002640000000♠4.5500264%
|
1 / 7001219778950000000♠21.977895
|
7000257582900000000♠2.575829σ
|
99%
|
1%
|
1 / 100
|
3σ
|
7001997300204000000♠99.7300204%
|
6999269979600000000♠0.2699796%
|
1 / 370.398
|
7000329052700000000♠3.290527σ
|
99.9%
|
0.1%
|
1 / 7003100000000000000♠1000
|
7000389059200000000♠3.890592σ
|
99.99%
|
0.01%
|
1 / 7004100000000000000♠10000
|
4σ
|
7001999936660000000♠99.993666%
|
6997633400000000000♠0.006334%
|
1 / 7004157870000000000♠15787
|
7000441717300000000♠4.417173σ
|
99.999%
|
0.001%
|
1 / 7005100000000000000♠100000
|
7000450000000000000♠4.5σ
|
99.9993204653751%
|
0.0006795346249%
|
1 / 7005147159535800000♠147159.5358 3.4 / 7006100000000000000♠1000000 (每一边)
|
7000489163800000000♠4.891638σ
|
7001999999000000000♠99.9999%
|
6996100000000000000♠0.0001%
|
1 / 7006100000000000000♠1000000
|
5σ
|
7001999999426697000♠99.9999426697%
|
6995573303000000000♠0.0000573303%
|
1 / 7006174427800000000♠1744278
|
7000532672399999999♠5.326724σ
|
7001999999900000000♠99.99999%
|
6995100000000000000♠0.00001%
|
1 / 7007100000000000000♠10000000
|
7000573072900000000♠5.730729σ
|
7001999999990000000♠99.999999%
|
6994100000000000000♠0.000001%
|
1 / 7008100000000000000♠100000000
|
7000600000000000000♠6σ
|
7001999999998027000♠99.9999998027%
|
6993197300000000000♠0.0000001973%
|
1 / 7008506797346000000♠506797346
|
7000610941000000000♠6.109410σ
|
7001999999999000000♠99.9999999%
|
6993100000000000000♠0.0000001%
|
1 / 7009100000000000000♠1000000000
|
7000646695100000000♠6.466951σ
|
7001999999999900000♠99.99999999%
|
6992100000000000000♠0.00000001%
|
1 / 7010100000000000000♠10000000000
|
7000680650200000000♠6.806502σ
|
7001999999999990000♠99.999999999%
|
6991100000000000000♠0.000000001%
|
1 / 7011100000000000000♠100000000000
|
7σ
|
99.9999999997440%
|
6990256000000000000♠0.000000000256%
|
1 / 7011390682215445000♠390682215445
|
Close
从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从
维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,
。它们可以在3维空间中确定一个点
。想像一条通过原点的直线
。如果这组数据中的3个值都相等,则点
就是直线
上的一个点,
到
的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点
作垂线
垂直于
,
交
于点
,则
的坐标为这3个值的平均数:
![{\displaystyle R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6234d424f308b7a1d483fe1aae1d09627614a498)
运用一些代数知识,不难发现点
与点
之间的距离(也就是点
到直线
的距离)是
。在
维空间中,这个规律同样适用,把
换成
就可以了。