自由度 (统计学)

在统计学中，自由度（英语：degree of freedom, df）是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度^[1]。一般来说，自由度等于独立变量数减掉其衍生量数^[2]；举例来说，方差的定义是样本减平均值（一个由样本决定的衍生量）的平方之和，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。^[3]

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑萤幕到厨房的位移能够用三维向量${\displaystyle a{\widehat {i}}+b{\widehat {j}}+c{\widehat {k}}}$来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的座标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联。

范例

• 若存在两个变数${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$，而 ${\displaystyle a+b=6}$那么他的自由度为1。因为其实只有${\displaystyle a}$才能真正的自由变化，${\displaystyle b}$会被${\displaystyle a}$选值的不同所限制。
• 估计总体的平均数（${\displaystyle \mu \,}$）时，由于样本中的${\displaystyle n}$个数都是相互独立的，任一个尚未抽出的数都不受已抽出任何数值的影响，所以自由度为${\displaystyle n}$。
• 估计总体的方差（${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$）时所使用的统计量是样本的方差${\displaystyle s^{2}}$，而${\displaystyle s^{2}}$必须用到样本平均数${\displaystyle {\overline {x}}}$来计算。${\displaystyle {\overline {x}}}$在抽样完成后已确定，所以大小为${\displaystyle n}$的样本中只要${\displaystyle n-1}$个数确定了，第${\displaystyle n}$个数就只有一个能使样本符合${\displaystyle {\overline {x}}}$的数值。也就是说，样本中只有${\displaystyle n-1}$个数可以自由变化，只要确定了这${\displaystyle n-1}$个数，方差也就确定了。这里，平均数${\displaystyle {\overline {x}}}$就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，样本方差${\displaystyle s^{2}}$的自由度为${\displaystyle n-1}$。
• 统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有${\displaystyle p}$个参数需要估计，则其中包括了${\displaystyle p-1}$个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为${\displaystyle p-1}$。
• 如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

参考文献

1. Degrees of Freedom. "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-09-17）.
2. Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588.
3. Lane, David M. Degrees of Freedom. HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-06-28）.