单位向量

数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如：${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }$ ^[1]。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。

二维空间的单位向量

一个非零向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的正规化向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ 就是平行于 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的单位向量：

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

这里 ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|}$ 是 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的范数（长度）。正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。

一组基的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中，通常是 ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$，分别为沿着 ${\displaystyle x,y,z}$ 方向的单位向量：

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

在其他坐标系中，如极坐标系、球坐标系，使用不同的单位向量，符号也会不一样。

参考文献

1. David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker. 《Principles of physics》. 约翰威立. 2011: 第44页. ISBN 9780470561584.