极限点(英语:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[注 1]随意逼近的点。[注 2]
这个概念有益的推广了极限的概念,并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[注 3]
度量空间
自然的带有由度量
生成的拓扑
;更仔细地说,是由以开球为元素的拓扑基所生成的拓扑,也就是
里的开集都是某群开球的联集。这样对开球定义极限点的话,就会等价于对
定义(因为属于某个开球等价于属于某开集),换句话说,对度量空间可以作如下定义:
定义 —
是度量空间 ,且
;若
,且对所有
,存在
使得
,也就是
![{\displaystyle (x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b568bd8de8af9cc711a64e8606dfb2699afe3c)
这样称
是
的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)
直观上可理解为“可以用
里的点(以度量
)无限制地逼近
”。应用上,
为定义域的聚集点也是函数极限能在
上有定义的前提条件。
在度量空间中,ω‐会聚点与普通的极限点定义等价
- 关于极限点的性质:
是
的极限点,当且仅当它属于
\ {
}的闭包。
- 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x是
的极限点,当且仅当所有
的邻域都包含一个非
的点属于S,当且仅当所有
的邻域含有一个点属于
\ {x},当且仅当
属于
的闭包。
的闭包具有下列性质:
的闭包等于
和其导集的并集。
- 证明:(从左到右)设
属于
的闭包。若
属于S,命题成立。若
,则所有
的邻域都含有一个非
的点属于
;也就是说,x是
的极限点,
。(从右到左)设
属于S,则明显地所有
的邻域和
相交,所以
属于
的闭包。若
属于L(S),则所有
的邻域都含有一个非
的点属于S,所以
也属于
的闭包。得证。
- 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合
是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
- 证明1:S是闭集,当且仅当
等于其闭包,当且仅当
=
∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S。
- 证明2:设
是闭集,
是
的极限点。则
必须属于S,否则
的补集为
的开邻域,和
不相交。相反,设
包含所有它的极限点,需要证明
的补集是开集。设
属于
的补集。根据假设,x不是极限点,则存在
的开邻域U和
不相交,则U在
的补集中,则
的补集是开集。
- 孤点不是任何集合的极限点。
- 证明:若
是孤点,则{x}是只含有
的
的邻域。
- 空间
是离散空间,当且仅当
的子集都没有极限点。
- 证明:若
是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若
不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点y ≠ x,则
是
的极限点。
- 若空间
有密着拓扑,且
是
的多于一个元素的子集,则
的所有元素都是
的极限点。若
是单元素集合,则所有
\
的点仍然是
的极限点。
- 说明:只要
\ {x}非空,它的闭包就是X;只有当
是空集或
是
的唯一元素时,它的闭包才是空集。
为T1空间,则
为
的极限点等价于
的每个邻域皆包含无限多个
的点。[注 4]