半多面体

在几何学中，半多面体（英语：Hemipolyhedron）是一种面通过整体几何中心的星形多面体^[1]。这些通过整体几何中心的面跟某个平形多面体的面互相平行，但数量只有一半，因此称为半多面体^[2]；而这些数量只有一半且通过整体几何中心的面可称为半面（hemi faces）^[3]。

提示：此条目页的主题不是多面体半形。

性质

威佐夫记号与顶点图

其威佐夫记号（英语：Wythoff symbol）的形式为^p/_(p − q) ^p/_q | r;，这表示其顶点周围的面有一个反反向相接，这意味着他们的顶点图为交叉四边形，因此，这些立体与小斜方截半变换相关，它们的威佐夫记号形式类似。从上方的威佐夫记号可以看出，部分多边形反向相接，事实上，其顶点布局形式为^p/_q.2r.^p/_(p − q).2r，其中^p/_(p − q)表示反向相接的^p/_q，这种布局方式会造成取之相邻的2r边形通过整体的几何中心：如果将其表示为球形多面体的面，则它们覆盖整个半球，且它们的边和顶点位于球体的大圆上。^[4]

这类形式的威佐夫记号共有九种类型。这九种多面体在1881年由Albert Badoureau发现并描述^[5]。

四面半六面体 3/2 3 | 2 (3.4.3/2.4) (p/q = 3, r = 2)	八面半八面体 3/2 3 | 3 (3.6.3/2.6) (p/q = 3, r = 3)	小二十面半十二面体 3/2 3 | 5 (3.10.3/2.10) (p/q = 3, r = 5)	大二十面半十二面体 3/2 3 | 5/3 (3.10/3.3/2.10/3) (p/q = 3, r = 5/3)	小十二面半二十面体 5/3 5/2 | 3 (5/2.6.5/3.6) (p/q = 5/2, r = 3)
	立方半八面体 4/3 4 | 3 (4.6.4/3.6) (p/q = 4, r = 3)	小十二面半十二面体 5/4 5 | 5 (5.10.5/4.10) (p/q = 5, r = 5)	大十二面半十二面体 5/3 5/2 | 5/3 (5/2.10/3.5/3.10/3) (p/q = 5/2, r = 5/3)	大十二面半二十面体 5/4 5 | 3 (5.6.5/4.6) (p/q = 5, r = 3)

定向性

仅有八面半八面体是可定向曲面^[6]，其余半多面体皆不具备定向性^[7]，就类似于克莱因瓶，整个面表面只有一个面，无法分辨内部和外部，立体上视觉上的“外部”任意点皆可以仅沿立体表面、不需经过打动的过程就走到对应点的相对于“内部”的位置^[8]。

种类

拟正半多面体

对应原像为正多面体的半多面体共有9个，在1881年由Albert Badoureau发现并描述^[5]。这些立体与对应的截半多面体共用顶点，而截半多面体是一种拟正多面体（Quasiregular Polyhedra），这些立体可以视为是这些拟正多面体的刻面多面体^[2]。这些立体又可称为Versi-Regular Polyhedra，与Quasiregular Polyhedra相对应。^[8]

原像		截半结果	几何结构	名称	顶点布局	其威佐夫记号 （英语：Wythoff symbol）	对称性
正四面体	正四面体对偶	截半四面体		四面半六面体	3.4.3/2.4	3/2 3 | 2	Td
立方体	立方体	截半立方体		八面半八面体	3.6.3/2.6	3/2 3 | 3	Oh
				立方半八面体	4.6.4/3.6	4/3 4 | 3	Oh
正十二面体	正二十面体	截半十二面体		小二十面半十二面体	3.10.3/2.10	3/2 3 | 5	Ih
				小十二面半十二面体	5.10.5/4.10	5/4 5 | 5	Ih
大二十面体	大星形十二面体	大截半二十面体		大二十面半十二面体	3.10/3.3/2.10/3	3/2 3 | 5/3	Ih
				大十二面半十二面体	5/2.10/3.5/3.10/3	5/3 5/2 | 5/3	Ih
大十二面体	小星形十二面体	截半大十二面体		小十二面半二十面体	5/2.6.5/3.6	5/3 5/2 | 3	Ih
				大十二面半二十面体	5.6.5/4.6	5/4 5 | 3	Ih

在欧几里得空间中，有四种含无限边形的平面镶嵌可以是为是以半多面体方式构造的星形镶嵌^[9]。组成其的无限边形可视为与平面镶嵌的平面垂直，即将整个几何结构视为一个球面多面体，每个无限边形皆可将整体分隔为两个半球体。^[10]

原像	原始截半 结果镶嵌图	边的排列	几何结构	顶点布局[10]	其威佐夫记号 （英语：Wythoff symbol）	对称性
正方形镶嵌			正方形半无限边形镶嵌	4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
正三角形镶嵌			双三角形半无限边形镶嵌	(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	p6m
正六边形镶嵌			六边形半无限边形镶嵌	6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			三角形半无限边形镶嵌	∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

大部分的拟正多面体皆为正多面体截半后的结果。部分拟正半多面体也有类似的特点：

拟正多面体	截半前的原像		截半结果
四面半六面体[11]	皮特里四面体 {4,3}3 （立方体半形）	（八面体半形） {3,4}3
八面半八面体[12]	皮特里立方体[13]{6,3}(2,2)
立方半八面体[14]	S2:{4,6}	S2:{6,4}
大二十面半十二面体[15]	皮特里大星形十二面体[15]
大十二面半十二面体[15]	皮特里大二十面体[15]

参考文献

1. Norman Johnson（英语：諾曼·詹森 (數學家)） Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
2. Hart, George. Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. 1996 [6 May 2012]. （原始内容存档于2021-07-24）.
3. Stella Polyhedral Glossary. software3d.com. [2021-08-01]. （原始内容存档于2021-05-12）.
4. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P., Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society), 1954, 246 (916): 401–450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003
5. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
6. The Octahemioctahedron. 西密歇根大学. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.
7. Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra. Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57––110.
8. Versi-Regular Polyhedra. dmccooey.com. [2021-08-01]. （原始内容存档于2021-07-30）.
9. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Star tilings section 12.3)
10. Jim McNeill. Infinite and Semi-infinite tessellations. orchidpalms.com. [2021-08-01]. （原始内容存档于2020-02-25）.
11. Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-01-26）.
12. octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-25）.
13. {6,3}_(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
14. The cubohemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始内容存档于2021-08-02）.
15. Weiss, Asia Ivić and Schulte, Egon. Hereditary polyhedra with planar regular faces. The Art of Discrete and Applied Mathematics. 2020, 3 (2): 2–07.