塞迈雷迪定理

在算术组合学（英语：arithmetic combinatorics）中，塞迈雷迪定理（英语：Szemerédi's theorem）是个关于自然数集子集中的等差数列的结论。1936年，艾狄胥·帕尔和图兰·帕尔猜想^[1]：若整数集 A 具有正的自然密度，则对任意的正整数 k, 都可以在 A 中找出一个 k 项的等差数列。匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈于1975年证明了此结论。

定理叙述

若自然数集的子集 A 满足

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0,}$

则称 A 具有正的上密度。塞迈雷迪定理断言，若自然数集的一个子集具有正的上密度，则对任意的正整数 k, 该子集都包含无穷多个长为 k 的（公差不为 0) 的等差数列。

定理另有一个等价的有限性叙述（即不牵涉“无穷”的）：对任意的正整数 k 和实数 ${\displaystyle \delta \in (0,1],}$都存在正整数

${\displaystyle N=N(k,\delta )}$

使得 {1, 2, ..., N} 的每个至少 δN 元的子集，都包含长为 k 的等差数列。

定义 r_k(N) 为 {1, 2, ..., N} 的子集当中，不包含长为 k 的等差数列的最大子集的大小。塞迈雷迪定理给出渐近上界

${\displaystyle r_{k}(N)=o(N).}$

换言之，r_k(N) 随 N 的增长慢于线性。

历史

范德瓦尔登定理是塞迈雷迪定理的先驱，其于 1927 年获证。

塞迈雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情况显然成立。 k = 3 的结论关乎萨莱姆-斯宾塞集（英语：Salem-Spencer set）（不包含 3 项等差数列的整数子集）的大小。1953 年，克劳斯·罗特^[2] 利用类似哈代-李特尔伍德圆法的方法，证明了 k = 3 的结论。1969 年，塞迈雷迪·安德烈^[3]利用组合学方法证明了 k = 4 的情况。在 1972 年，罗特^[4]利用类似自己证明 k = 3 的情况的方法，给出了 k = 4 的情况的另证。

塞迈雷迪于 1975 年给出了适用于所有 k 的证明。^[5] 他巧妙地扩展了自己先前对 k = 4 的情况的组合论证，艾狄胥称该证明为“组合学推理的杰作”("a masterpiece of combinatorial reasoning")^[6]. 定理亦有若干其他证明，较重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论给出的证明^[7][8]，以及 2001 年高尔斯结合傅里叶分析和组合数学给出的证明^[9]。陶哲轩称塞迈雷迪定理的众多证明为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看之下迥异的数学分支。^[10]

rk(N) 的具体大小

r_k(N) 的确切增长速度仍然未知。目前所知的上下界为

${\displaystyle CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},}$

其中 ${\displaystyle n=\lceil \log k\rceil .}$欧布莱恩（Kevin O'Bryant) 证出了上述的下界^[11] ，其证明建基于贝哈连德（Felix Behrend)^[12]、罗伯特·蓝钦（英语：Robert Alexander Rankin）^[13]，以及埃尔金（Michael Elkin) ^[14][15]先前的成果。上界由高尔斯证出。^[9]

对于较小的 k, 可以找到比起一般情况更紧的上下界。当 k = 3 时，布尔甘^[16][17]、希斯-布朗^[18]、塞迈雷迪^[19]，以及汤姆·桑德斯^[20]依次给出了愈来愈好的下界。目前所知的上下界为

${\displaystyle N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N.}$

两边的界限分别由欧布莱恩^[11] 和布鲁姆（Thomas Bloom) ^[21] 给出。

当 k = 4 时，本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲轩^[22][23] 证明了存在 c > 0 使得

${\displaystyle r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}.}$

推广

希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨内勒松（英语：Yitzhak Katznelson）利用遍历理论整明了塞迈雷迪定理的高维推广。^[24] 高尔斯^[25]、沃伊杰赫·勒德尔（英语：Vojtěch Rödl）和约泽夫·斯科肯 (Jozef Skokan) ^[26][27] ，以及布兰登·纳格 (Brendan Nagle)、 勒德尔和马蒂亚斯·沙赫特（英语：Mathias Schacht）^[28] ，和陶哲轩^[29]给出了各自的组合学证明。

亚历山大·莱布门 (Alexander Leibman) 和维塔利·别尔格尔松（英语：Vitaly Bergelson）^[30] 给出定理对多项式列的推广：若 ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$的上密度为正，且 ${\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)}$为满足 ${\displaystyle p_{i}(0)=0}$的整值多项式（英语：Integer-valued polynomial），则存在无穷多组 ${\displaystyle u,n\in \mathbb {Z} }$使得对${\displaystyle 1\leq i\leq k}$都有 ${\displaystyle u+p_{i}(n)\in A.}$ 莱布门和别尔格尔松的结果同样适用于高维的情况。

塞迈雷迪定理的有限性版本可推广至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。^[31] 定理在有限域上的类比，是有助理解原定理（在正整数集上）的模型。^[32] 所谓封顶集（英语：Cap set）问题，就是要找出向量空间 ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$所包含的无 3 项等差数列的最大子集的大小，即塞迈雷迪定理当 k = 3 时的界限。

格林-陶定理断言，存在任意长的质数等差数列。此结论不能由塞迈雷迪定理推出，因为质数集的密度为 0. 本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲轩在其证明中引入了“相对性”（英语：relative) 的塞迈雷迪定理，该定理适用于任意具特定伪随机性的整数子集（允许密度为 0)。大卫·康伦（英语：David Conlon），雅各布·福克斯（英语：Jacob Fox）和赵宇飞^[33] (Yufei Zhao)其后亦给出了适用于更一般情况的相对性塞迈雷迪定理。^[34][35]

埃尔德什等差数列猜想（断言倒数和发散的集合，必有任意长的等差数列）可以推出塞迈雷迪定理和格林-陶定理。

参见

• 与等差数列有关的问题（英语：Problems involving arithmetic progressions）
• 遍历拉姆齐理论（英语：Ergodic Ramsey theory）
• 算术组合学（英语：arithmetic combinatorics）
• 塞迈雷迪正则性引理

参考资料

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延申阅读

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外部链接

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• Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Ben Green and Terence Tao: Szemerédi's theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Scholarpedia
• 埃里克·韦斯坦因. SzemeredisTheorem. MathWorld.
• Grime, James; Hodge, David. 6,000,000: Endre Szemerédi wins the Abel Prize. Numberphile. 布雷迪·哈兰. 2012 [2019-06-17]. （原始内容存档于2014-01-09）.