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反函数
对一个定函数做逆运算的函数 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数学里,反函数,也称为逆函数(英语:Inverse function),为对一个定函数做逆运算的函数。
定义与存在性
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设为一函数,其定义域为
,陪域为
。如果存在一函数
,其定义域和陪域分别为
,并对任意
有
、对任意
有
,则称
为
的反函数,记之为
。[注 1]
若一函数有反函数,便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射,即同时为单射和满射。[1]
若为一实函数,还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。
与限制的关系
一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如
并不是单射,因
和
均为
。但若取其到
上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数
反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性,如
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数通常定义为正弦函数到上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域,称作其主值(英语:Principal value)。
性质
- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数
的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如
注释
参考资料
- Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始内容存档于2023-12-29).
- Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.