在数学里,代数整数(algebraic integer)是复数中的一类。一个复数α是代数整数当且仅当它是某个个整系数的首一多项式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 的根。其中首一(英文:monic)意谓最高幂次项的系数是1。 各种各样的数 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 正数 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整数 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代数数 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 复数 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整数 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整数 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} 延伸 二元数 四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元数 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超实数 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数(英语:Dual quaternion) 超复数 超数 超现实数 其他 质数 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然对数的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虚数单位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 无限大 ∞ {\displaystyle \infty } 查论编 因此,所有代数整数都是代数数,但并非所有代数数都是代数整数。所有代数整数构成一个环,通常记作 A {\displaystyle \mathbb {A} } 。 如果 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 是整系数本原多项式(即系数的最大公因数是1的多项式),但非首一多项式,则 P {\displaystyle P} 的根都不是代数整数。 以下是代数整数四种相互等价的定义。设K为代数数域(有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张)。根据本原元定理,K可以写成 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} 的形式。其中 θ ∈ C {\displaystyle \theta \in \mathbb {C} } 是某个代数数。设有 α ∈ K {\displaystyle \alpha \in K} ,则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立: 存在整系数多项式: P = X m + a 1 X m − 1 + ⋯ + a m − 1 X + a m ∈ Z [ X ] {\displaystyle P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]} ,使得 P ( α ) = 0 {\displaystyle P(\alpha )=0} 。 α在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的极小首一多项式是整系数多项式。 Z [ α ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]} 是有限生成的 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模。 存在有限生成的 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -子模: M ⊂ C {\displaystyle M\subset \mathbb {C} } ,使得 α M ⊆ M {\displaystyle \alpha M\subseteq M} 。 有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中的代数整数就是整数。换句话说, A {\displaystyle \mathbb {A} } 和 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 交集是整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式 P ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m {\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}} 有一个根是有理数: r = p q {\displaystyle \scriptstyle r={\frac {p}{q}}} ,其中p、q是互素的整数,那么必然有:分母q 整除 a m {\displaystyle a_{m}} ,以及分子p 整除 a 0 {\displaystyle a_{0}} 。因此,由于代数整数是某个首一多项式的根,如果它是有理数,那么它的分母整除多项式的最高幂次项,也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1,即是说它是整数。反过来,所有的整数n都是整系数首一多项式 x − n {\displaystyle \displaystyle x-n} 的根,所以是代数整数。 一个给定的代数数域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 与 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的交集称为这个数域的(代数)整数环,记作 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说,给定一个数域: K = Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} ,那么对应的整数环中不仅有整数,还有 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ,因为 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是首一多项式 x 2 − 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-2} 的根。 2 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 不是代数整数。这是因为 2 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 在有理数域上的最小多项式是 2 x 2 − 1 {\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}-1} ,不是一个首一多项式。 1 + 5 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 是一个代数整数。它是多项式 x 2 − x − 1 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1} 的根。一般来说,如果整数 d {\displaystyle \scriptstyle d} 除以4余1,那么 1 + d 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}} 也是代数整数,因为它是多项式 x 2 − x − d − 1 4 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}} 的根。 给定素数p,p次单位根 ζ p {\displaystyle \zeta _{p}} 也是一个代数整数,因为是首一多项式 x p − 1 = 0 {\displaystyle \displaystyle x^{p}-1=0} 的根。实际上,p次分圆域 Q ( ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 的整数环就是 Z [ ζ p ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]} 。 两个代数整数的和是一个代数整数,他们的差及积也是。这时它们满足的首一多项式可以用结式表达;但他们的商就不一定是代数整数。 一个以代数整数为系数的首一多项式的根也是代数整数。换句话说,代数整数构成一个环,并且在任何代数扩张下是整闭的。 任何从整数出发,透过和、积与开方得到的数都是代数整数,但并非所有代数整数都可依此构造,例如,大多数的五次代数整数都无法透过这种方式构造。 代数整数是裴蜀整环。 整性 高斯整数 艾森斯坦整数 单位根 狄利克雷单位理论 基本单位 (数论) Daniel A. Marcus, Number Fields(数域), third edition, Springer-Verlag, 1977