二次域

在代数数论中，二次域是在有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$上次数为二的数域。二次域可以唯一地表成${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，其中${\displaystyle d}$无平方数约数。若${\displaystyle d>0}$，称之为实二次域；否则称为虚二次域或复二次域。虚实之分在于${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$是否为全实域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作为二次型理论的一支。二次域是代数数论的基本对象之一，虽然如此，至今仍有一些未解猜想，如类数问题。

整数环与判别式

二次域${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$里的整数环${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$定义为该域中的代数整数。当${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$时，整数环可描述为${\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})}$，否则为${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {d}})}$。当${\displaystyle d=-1}$时，这些整数称为高斯整数，当${\displaystyle d=-3}$时，称为艾森斯坦整数。

根据上述描述，${\displaystyle K}$的判别式不难计算：当${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$时判别式为${\displaystyle d}$，否则则为${\displaystyle 4d}$。

二次域上的分歧理论

设${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$为素数。数论关注的问题是${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$如何在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$中分解成素理想之积。根据数域的分歧理论，应考虑以下情形：

• ${\displaystyle p}$是惯性的：${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$仍为素理想，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}}$。
• ${\displaystyle p}$分裂：${\displaystyle (p)}$为两个相异素理想之积，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}}$。
• ${\displaystyle p}$分歧：${\displaystyle (p)}$为某个素理想之平方，此时${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)}$含有非零的幂零元。

根据之前对判别式的计算，可知${\displaystyle p}$分歧当且仅当${\displaystyle p}$整除${\displaystyle K}$的判别式（${\displaystyle d}$或${\displaystyle 4d}$，取决于${\displaystyle d\mod 4}$）；对其余无穷多个素数，前两个情形皆会发生，而且其概率在某种意义上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那么就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972.
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9. 引文使用过时参数coauthors (帮助) Chapter 3.1.