赋值

提示：此条目页的主题不是赋值语句。

关于逻辑学上，对命题真值的赋值，请见“赋值 (逻辑)”。

在代数中，赋值是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

定义

一个域${\displaystyle K}$上取值在有序交换群Γ的赋值是从${\displaystyle K^{*}}$到Γ的映射${\displaystyle v}$，满足下述性质：

• ${\displaystyle v(xy)=v(x)+v(y)}$（即：${\displaystyle v}$是群同态）
• ${\displaystyle x+y\neq 0\Rightarrow v(x+y)\geq \mathrm {min} (v(x),v(y))}$

Γ称作${\displaystyle v}$的值群。

两个赋值${\displaystyle v_{i}:K^{*}\rightarrow \Gamma _{i}\;(i=1,2)}$被称作等价的，当且仅当存在有序交换群的同构${\displaystyle \phi :\Gamma _{1}\rightarrow \Gamma _{2}}$使得${\displaystyle v_{2}=\phi \circ v_{1}}$。

为了操作上的便利，我们通常会将${\displaystyle v}$的值域扩至${\displaystyle \Gamma \cup \{\infty \}}$，并设${\displaystyle v(0)=\infty }$。

p进赋值

主条目：P进赋值

设p为正质数。对于所有非零的有理数，存在一且唯一一个整数${\displaystyle n}$使得 ${\displaystyle x={\frac {u}{v}}p^{n}}$ ，其中${\displaystyle u,v}$均非${\displaystyle p}$的倍数。p进赋值就是函数 ${\displaystyle v_{p}:x\to n}$。它给出一个p进绝对值 ${\displaystyle \vert \cdot \vert _{p}:\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$，定义为

${\displaystyle \vert x\vert _{p}={\begin{cases}0\\p^{-v_{p}(x)}\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle x=0}$
	若${\displaystyle x\neq 0}$

p进赋值是个非阿基米得赋值。其值群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

例子

• 令${\displaystyle X}$为紧黎曼曲面，${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$为其上的亚纯函数域。固定一点${\displaystyle x\in X}$。定义${\displaystyle v_{x}(f)}$为${\displaystyle f}$在${\displaystyle x}$的重根数，便得到${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$上的赋值，其值群为${\displaystyle \mathbb {Z} }$。对于高维情形则须考虑其因子，但此时需考虑点的拉开，状况较复杂。扎里斯基正是为了研究代数曲面而开始研究赋值论。
• 上述构造亦可套用到定义在任意域上的代数曲线。
• 利用函数域与数域的类比，可在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上考虑p进赋值。根据奥斯特洛夫斯基定理，${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的任意赋值皆等价于某个p进赋值。

参见

• 有序交换群
• 赋值环

参考文献

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
• Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2^nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
• Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8

扩展阅读

• Danilov, V.I., Valuation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Discrete valuation at PlanetMath.
• Valuation at PlanetMath.
• 埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.