赋值环

在抽象代数中，赋值环是一个域里的一类特别子环，可由域上的某个赋值定义。离散赋值环是其中较容易操作的一类。

定义

赋值环是一个整环D，满足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x ⁻¹ ∈ D. 一个域 F 的子环 R 被称作赋值环，当且仅当对每个 ${\displaystyle x\in F^{*}}$，必有 ${\displaystyle x\in R}$ 或 ${\displaystyle x^{-1}\in R}$。R被称作其分式域 F赋值环或被称作在其分式域 F的素点（位）

若 R 是主理想域，此时 R 被称为离散赋值环。

性质

• 令${\displaystyle {\mathcal {M}}:=F-R^{*}}$，则 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 是 F 中唯一的极大理想。
• 承上，${\displaystyle k:=R/{\mathcal {M}}}$ 被称作 R 的剩余域。

范例

• 任何域都是赋值环。
• Z_(p)是赋值环, ，整数环在素理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。分式域为有理数域Q
• 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数（泰勒级数展开为零）环是一个赋值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
• 任何一个给定的素数p p进整数环Z_p 是局部环（p进数的分式域Q_p域），p进整数环Z_p 代数闭域Z_p^cl也是一个局部环， Z_p 和 Z_p^cl都是赋值环。

设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的，如果它在于两个整数N <X <米;否则，它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D，被称为无限。 有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字，从一个标准的真正的不同，由一个无限小的量，这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场，有限的超现实数模无穷的超现实数字理想，是同构的实数。

• 令 X 为一黎曼曲面，x 为其上一点。令 ${\displaystyle R_{x}:=\{f\in \mathbb {C} (X):f(x)\neq \infty \}}$，则 ${\displaystyle R_{x}}$ 构成一赋值环。
• 设 ${\displaystyle F}$ 为域，则 ${\displaystyle F[[X]]}$ 是 ${\displaystyle F((X))}$ 中的赋值环。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ 为 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 中的赋值环。
• 设${\displaystyle (\Gamma ,>)}$ 为一有序交换群，${\displaystyle K}$ 为域，${\displaystyle v:K^{*}\rightarrow \Gamma }$ 为一赋值，则 ${\displaystyle R_{v}:=\{r\in R:v(r)\geq 0\}}$ 为一赋值环，此时${\displaystyle v(K^{*})}$被称作其值群。可以证明所有的赋值环都由此而来。

文献

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.